Analysis Beispiele

$y = \cos (\sqrt{4 t + 11})$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{4 t + 11}$ als ${(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \cos ({(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (\cos ({(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 3

Die Ableitung von $y$ nach $t$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \cos (t)$ und $g (t) = {(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 4.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch ${(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [{(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.1.2

Die Ableitung von $\cos (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [{(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch ${(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \sin ({(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [{(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ und $g (t) = 4 t + 11$ .

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Schritt 4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $4 t + 11$ .

$- \sin ({(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [4 t + 11])$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$- \sin ({(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [4 t + 11])$

Schritt 4.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $4 t + 11$ .

$- \sin ({(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(4 t + 11)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [4 t + 11])$

Schritt 4.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \sin ({(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(4 t + 11)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [4 t + 11])$

Schritt 4.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \sin ({(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(4 t + 11)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [4 t + 11])$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \sin ({(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(4 t + 11)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [4 t + 11])$

Schritt 4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \sin ({(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(4 t + 11)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [4 t + 11])$

Schritt 4.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- \sin ({(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(4 t + 11)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [4 t + 11])$

Schritt 4.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \sin ({(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(4 t + 11)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [4 t + 11])$

Schritt 4.7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(4 t + 11)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \sin ({(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{{(4 t + 11)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [4 t + 11])$

Schritt 4.7.3

Bringe ${(4 t + 11)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \sin ({(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2 {(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [4 t + 11])$

Schritt 4.7.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}}$ und $\sin ({(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}})$ .

$- \frac{\sin ({(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [4 t + 11]$

Schritt 4.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 t + 11$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [11]$ .

$- \frac{\sin ({(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [11])$

Schritt 4.9

Da $4$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $4 t$ nach $t$ gleich $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{\sin ({(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}} (4 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [11])$

Schritt 4.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{\sin ({(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [11])$

Schritt 4.11

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$- \frac{\sin ({(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}} (4 + \frac{d}{d t} [11])$

Schritt 4.12

Da $11$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $11$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$- \frac{\sin ({(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}} (4 + 0)$

Schritt 4.13

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.13.1

Addiere $4$ und $0$ .

$- \frac{\sin ({(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 4$

Schritt 4.13.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 4 \frac{\sin ({(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.13.3

Kombiniere $- 4$ und $\frac{\sin ({(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 4 \sin ({(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.13.4

Faktorisiere $2$ aus $- 4 \sin ({(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}})$ heraus.

$\frac{2 (- 2 \sin ({(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.14

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.14.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (- 2 \sin ({(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}))}{2 ({(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 4.14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- 2 \sin ({(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.14.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2 \sin ({(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{{(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 \sin ({(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{{(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - \frac{2 \sin ({(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{{(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{2 \sin ({(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{{(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}}$