Analysis Beispiele

$lim_{x \to 1} \frac{24 + \sqrt{x}}{\sqrt{24 + x}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} 24 + \sqrt{x}}{lim_{x \to 1} \sqrt{24 + x}}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} 24 + lim_{x \to 1} \sqrt{x}}{lim_{x \to 1} \sqrt{24 + x}}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $24$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{24 + lim_{x \to 1} \sqrt{x}}{lim_{x \to 1} \sqrt{24 + x}}$

Schritt 4

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{24 + \sqrt{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} \sqrt{24 + x}}$

Schritt 5

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{24 + \sqrt{lim_{x \to 1} x}}{\sqrt{lim_{x \to 1} 24 + x}}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{24 + \sqrt{lim_{x \to 1} x}}{\sqrt{lim_{x \to 1} 24 + lim_{x \to 1} x}}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $24$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{24 + \sqrt{lim_{x \to 1} x}}{\sqrt{24 + lim_{x \to 1} x}}$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{24 + \sqrt{1}}{\sqrt{24 + lim_{x \to 1} x}}$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{24 + \sqrt{1}}{\sqrt{24 + 1}}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{24 + 1}{\sqrt{24 + 1}}$

Schritt 9.1.2

Addiere $24$ und $1$ .

$\frac{25}{\sqrt{24 + 1}}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.1

Addiere $24$ und $1$ .

$\frac{25}{\sqrt{25}}$

Schritt 9.2.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{25}{\sqrt{5^{2}}}$

Schritt 9.2.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{25}{5}$

Schritt 9.3

Dividiere $25$ durch $5$ .

$5$