Analysis Beispiele

$z = \frac{4 - 3 x}{3 x^{2} + x}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d z} (z) = \frac{d}{d z} (\frac{4 - 3 x}{3 x^{2} + x})$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ gleich $n z^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{2} + x$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$\frac{d}{d z} [\frac{4 - 3 x}{x (3 x) + x}]$

Schritt 3.1.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d}{d z} [\frac{4 - 3 x}{x (3 x) + x^{1}}]$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{d}{d z} [\frac{4 - 3 x}{x (3 x) + x \cdot 1}]$

Schritt 3.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x (3 x) + x \cdot 1$ heraus.

$\frac{d}{d z} [\frac{4 - 3 x}{x (3 x + 1)}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [\frac{f (z)}{g (z)}]$ gleich $\frac{g (z) \frac{d}{d z} [f (z)] - f (z) \frac{d}{d z} [g (z)]}{{g (z)}^{2}}$ ist mit $f (z) = 4 - 3 x$ und $g (z) = x (3 x + 1)$ .

$\frac{x (3 x + 1) \frac{d}{d z} [4 - 3 x] - (4 - 3 x) \frac{d}{d z} [x (3 x + 1)]}{{(x (3 x + 1))}^{2}}$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - 3 x$ nach $z$ $\frac{d}{d z} [4] + \frac{d}{d z} [- 3 x]$ .

$\frac{x (3 x + 1) (\frac{d}{d z} [4] + \frac{d}{d z} [- 3 x]) - (4 - 3 x) \frac{d}{d z} [x (3 x + 1)]}{{(x (3 x + 1))}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Da $4$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $z$ gleich $0$ .

$\frac{x (3 x + 1) (0 + \frac{d}{d z} [- 3 x]) - (4 - 3 x) \frac{d}{d z} [x (3 x + 1)]}{{(x (3 x + 1))}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d z} [- 3 x]$ .

$\frac{x (3 x + 1) \frac{d}{d z} [- 3 x] - (4 - 3 x) \frac{d}{d z} [x (3 x + 1)]}{{(x (3 x + 1))}^{2}}$

Schritt 3.3.4

Da $- 3$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $z$ gleich $- 3 \frac{d}{d z} [x]$ .

$\frac{x (3 x + 1) (- 3 \frac{d}{d z} [x]) - (4 - 3 x) \frac{d}{d z} [x (3 x + 1)]}{{(x (3 x + 1))}^{2}}$

Schritt 3.4

Schreibe $\frac{d}{d z} [x]$ als $x'$ um.

$\frac{x (3 x + 1) (- 3 x') - (4 - 3 x) \frac{d}{d z} [x (3 x + 1)]}{{(x (3 x + 1))}^{2}}$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ gleich $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ ist mit $f (z) = x$ und $g (z) = 3 x + 1$ .

$\frac{x (3 x + 1) (- 3 x') - (4 - 3 x) (x \frac{d}{d z} [3 x + 1] + (3 x + 1) \frac{d}{d z} [x])}{{(x (3 x + 1))}^{2}}$

Schritt 3.6

Differenziere.

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Schritt 3.6.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x + 1$ nach $z$ $\frac{d}{d z} [3 x] + \frac{d}{d z} [1]$ .

$\frac{x (3 x + 1) (- 3 x') - (4 - 3 x) (x (\frac{d}{d z} [3 x] + \frac{d}{d z} [1]) + (3 x + 1) \frac{d}{d z} [x])}{{(x (3 x + 1))}^{2}}$

Schritt 3.6.2

Da $3$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $z$ gleich $3 \frac{d}{d z} [x]$ .

$\frac{x (3 x + 1) (- 3 x') - (4 - 3 x) (x (3 \frac{d}{d z} [x] + \frac{d}{d z} [1]) + (3 x + 1) \frac{d}{d z} [x])}{{(x (3 x + 1))}^{2}}$

Schritt 3.7

Schreibe $\frac{d}{d z} [x]$ als $x'$ um.

$\frac{x (3 x + 1) (- 3 x') - (4 - 3 x) (x (3 x' + \frac{d}{d z} [1]) + (3 x + 1) \frac{d}{d z} [x])}{{(x (3 x + 1))}^{2}}$

Schritt 3.8

Da $1$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $z$ gleich $0$ .

$\frac{x (3 x + 1) (- 3 x') - (4 - 3 x) (x (3 x' + 0) + (3 x + 1) \frac{d}{d z} [x])}{{(x (3 x + 1))}^{2}}$

Schritt 3.9

Addiere $3 x'$ und $0$ .

$\frac{x (3 x + 1) (- 3 x') - (4 - 3 x) (x (3 x') + (3 x + 1) \frac{d}{d z} [x])}{{(x (3 x + 1))}^{2}}$

Schritt 3.10

Schreibe $\frac{d}{d z} [x]$ als $x'$ um.

$\frac{x (3 x + 1) (- 3 x') - (4 - 3 x) (x (3 x') + (3 x + 1) x')}{{(x (3 x + 1))}^{2}}$

Schritt 3.11

Vereinfache.

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Schritt 3.11.1

Wende die Produktregel auf $x (3 x + 1)$ an.

$\frac{x (3 x + 1) (- 3 x') - (4 - 3 x) (x (3 x') + (3 x + 1) x')}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x (3 x) + x \cdot 1) (- 3 x') - (4 - 3 x) (x (3 x') + (3 x + 1) x')}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.11.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (3 x) (- 3 x') + x \cdot 1 (- 3 x') - (4 - 3 x) (x (3 x') + (3 x + 1) x')}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.11.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (3 x) (- 3 x') + x \cdot 1 (- 3 x') + (- 1 \cdot 4 - (- 3 x)) (x (3 x') + (3 x + 1) x')}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.11.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (3 x) (- 3 x') + x \cdot 1 (- 3 x') + (- 1 \cdot 4 - (- 3 x)) (x (3 x') + 3 x x' + 1 x')}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.11.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.11.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.11.6.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.11.6.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{x \cdot x \cdot 3 (- 3 x') + x \cdot 1 (- 3 x') + (- 1 \cdot 4 - (- 3 x)) (x (3 x') + 3 x x' + 1 x')}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.11.6.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3 (- 3 x') + x \cdot 1 (- 3 x') + (- 1 \cdot 4 - (- 3 x)) (x (3 x') + 3 x x' + 1 x')}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.11.6.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{3 \cdot x^{2} (- 3 x') + x \cdot 1 (- 3 x') + (- 1 \cdot 4 - (- 3 x)) (x (3 x') + 3 x x' + 1 x')}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.11.6.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$\frac{- 9 x^{2} x' + x \cdot 1 (- 3 x') + (- 1 \cdot 4 - (- 3 x)) (x (3 x') + 3 x x' + 1 x')}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.11.6.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- 9 x^{2} x' - 3 x x' + (- 1 \cdot 4 - (- 3 x)) (x (3 x') + 3 x x' + 1 x')}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.11.6.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.11.6.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{- 9 x^{2} x' - 3 x x' + (- 4 - (- 3 x)) (x (3 x') + 3 x x' + 1 x')}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.11.6.1.5.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$\frac{- 9 x^{2} x' - 3 x x' + (- 4 + 3 x) (x (3 x') + 3 x x' + 1 x')}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.11.6.1.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.11.6.1.6.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- 9 x^{2} x' - 3 x x' + (- 4 + 3 x) (3 x x' + 3 x x' + 1 x')}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.11.6.1.6.2

Mutltipliziere $x'$ mit $1$ .

$\frac{- 9 x^{2} x' - 3 x x' + (- 4 + 3 x) (3 x x' + 3 x x' + x')}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.11.6.1.7

Addiere $3 x x'$ und $3 x x'$ .

$\frac{- 9 x^{2} x' - 3 x x' + (- 4 + 3 x) (6 x x' + x')}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.11.6.1.8

Multipliziere $(- 4 + 3 x) (6 x x' + x')$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.11.6.1.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 9 x^{2} x' - 3 x x' - 4 (6 x x' + x') + 3 x (6 x x' + x')}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.11.6.1.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 9 x^{2} x' - 3 x x' - 4 (6 x x') - 4 x' + 3 x (6 x x' + x')}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.11.6.1.8.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 9 x^{2} x' - 3 x x' - 4 (6 x x') - 4 x' + 3 x (6 x x') + 3 x x'}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.11.6.1.9

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.11.6.1.9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.11.6.1.9.1.1

Mutltipliziere $6$ mit $- 4$ .

$\frac{- 9 x^{2} x' - 3 x x' - 24 (x x') - 4 x' + 3 x (6 x x') + 3 x x'}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.11.6.1.9.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.11.6.1.9.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{- 9 x^{2} x' - 3 x x' - 24 x x' - 4 x' + 3 (x \cdot x) (6 x') + 3 x x'}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.11.6.1.9.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{- 9 x^{2} x' - 3 x x' - 24 x x' - 4 x' + 3 x^{2} (6 x') + 3 x x'}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.11.6.1.9.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$\frac{- 9 x^{2} x' - 3 x x' - 24 x x' - 4 x' + 18 x^{2} x' + 3 x x'}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.11.6.1.9.2

Addiere $- 24 x x'$ und $3 x x'$ .

$\frac{- 9 x^{2} x' - 3 x x' - 21 x x' - 4 x' + 18 x^{2} x'}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.11.6.2

Addiere $- 9 x^{2} x'$ und $18 x^{2} x'$ .

$\frac{9 x^{2} x' - 3 x x' - 21 x x' - 4 x'}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.11.6.3

Subtrahiere $21 x x'$ von $- 3 x x'$ .

$\frac{9 x^{2} x' - 24 x x' - 4 x'}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.11.7

Faktorisiere $x'$ aus $9 x^{2} x' - 24 x x' - 4 x'$ heraus.

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Schritt 3.11.7.1

Faktorisiere $x'$ aus $9 x^{2} x'$ heraus.

$\frac{x' (9 x^{2}) - 24 x x' - 4 x'}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.11.7.2

Faktorisiere $x'$ aus $- 24 x x'$ heraus.

$\frac{x' (9 x^{2}) + x' (- 24 x) - 4 x'}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.11.7.3

Faktorisiere $x'$ aus $- 4 x'$ heraus.

$\frac{x' (9 x^{2}) + x' (- 24 x) + x' \cdot - 4}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.11.7.4

Faktorisiere $x'$ aus $x' (9 x^{2}) + x' (- 24 x)$ heraus.

$\frac{x' (9 x^{2} - 24 x) + x' \cdot - 4}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.11.7.5

Faktorisiere $x'$ aus $x' (9 x^{2} - 24 x) + x' \cdot - 4$ heraus.

$\frac{x' (9 x^{2} - 24 x - 4)}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.11.8

Stelle die Faktoren in $\frac{x' (9 x^{2} - 24 x - 4)}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$ um.

$\frac{(9 x^{2} - 24 x - 4) x'}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = \frac{(9 x^{2} - 24 x - 4) x'}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{(9 x^{2} - 24 x - 4) x'}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}} = 1$ um.

$\frac{(9 x^{2} - 24 x - 4) x'}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}} = 1$

Schritt 5.2

Multipliziere beide Seiten mit $x^{2} {(3 x + 1)}^{2}$ .

$\frac{(9 x^{2} - 24 x - 4) x'}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}} (x^{2} {(3 x + 1)}^{2}) = 1 (x^{2} {(3 x + 1)}^{2})$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.1.1

Vereinfache $\frac{(9 x^{2} - 24 x - 4) x'}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}} (x^{2} {(3 x + 1)}^{2})$ .

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Schritt 5.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} {(3 x + 1)}^{2}$ .

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Schritt 5.3.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(9 x^{2} - 24 x - 4) x'}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}} (x^{2} {(3 x + 1)}^{2}) = 1 (x^{2} {(3 x + 1)}^{2})$

Schritt 5.3.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$(9 x^{2} - 24 x - 4) x' = 1 (x^{2} {(3 x + 1)}^{2})$

Schritt 5.3.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$9 x^{2} x' - 24 x x' - 4 x' = 1 (x^{2} {(3 x + 1)}^{2})$

Schritt 5.3.1.1.3

Stelle um.

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Schritt 5.3.1.1.3.1

Bewege $x^{2}$ .

$9 x' x^{2} - 24 x x' - 4 x' = 1 (x^{2} {(3 x + 1)}^{2})$

Schritt 5.3.1.1.3.2

Bewege $x$ .

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = 1 (x^{2} {(3 x + 1)}^{2})$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Mutltipliziere $x^{2} {(3 x + 1)}^{2}$ mit $1$ .

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = x^{2} {(3 x + 1)}^{2}$

Schritt 5.4

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache $x^{2} {(3 x + 1)}^{2}$ .

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Schritt 5.4.1.1

Schreibe ${(3 x + 1)}^{2}$ als $(3 x + 1) (3 x + 1)$ um.

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = x^{2} ((3 x + 1) (3 x + 1))$

Schritt 5.4.1.2

Multipliziere $(3 x + 1) (3 x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.4.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = x^{2} (3 x (3 x + 1) + 1 (3 x + 1))$

Schritt 5.4.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = x^{2} (3 x (3 x) + 3 x \cdot 1 + 1 (3 x + 1))$

Schritt 5.4.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = x^{2} (3 x (3 x) + 3 x \cdot 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot 1)$

Schritt 5.4.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.4.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = x^{2} (3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot 1)$

Schritt 5.4.1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.4.1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = x^{2} (3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot 1)$

Schritt 5.4.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = x^{2} (3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot 1)$

Schritt 5.4.1.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = x^{2} (9 x^{2} + 3 x \cdot 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot 1)$

Schritt 5.4.1.3.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = x^{2} (9 x^{2} + 3 x + 1 (3 x) + 1 \cdot 1)$

Schritt 5.4.1.3.1.5

Mutltipliziere $3 x$ mit $1$ .

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = x^{2} (9 x^{2} + 3 x + 3 x + 1 \cdot 1)$

Schritt 5.4.1.3.1.6

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = x^{2} (9 x^{2} + 3 x + 3 x + 1)$

Schritt 5.4.1.3.2

Addiere $3 x$ und $3 x$ .

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = x^{2} (9 x^{2} + 6 x + 1)$

Schritt 5.4.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot 1$

Schritt 5.4.1.5

Vereinfache.

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Schritt 5.4.1.5.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = 9 x^{2} x^{2} + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot 1$

Schritt 5.4.1.5.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = 9 x^{2} x^{2} + 6 x^{2} x + x^{2} \cdot 1$

Schritt 5.4.1.5.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = 9 x^{2} x^{2} + 6 x^{2} x + x^{2}$

Schritt 5.4.1.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.1.6.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.4.1.6.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = 9 (x^{2} x^{2}) + 6 x^{2} x + x^{2}$

Schritt 5.4.1.6.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = 9 x^{2 + 2} + 6 x^{2} x + x^{2}$

Schritt 5.4.1.6.1.3

Addiere $2$ und $2$ .

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = 9 x^{4} + 6 x^{2} x + x^{2}$

Schritt 5.4.1.6.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.4.1.6.2.1

Bewege $x$ .

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = 9 x^{4} + 6 (x \cdot x^{2}) + x^{2}$

Schritt 5.4.1.6.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 5.4.1.6.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = 9 x^{4} + 6 (x^{1} x^{2}) + x^{2}$

Schritt 5.4.1.6.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = 9 x^{4} + 6 x^{1 + 2} + x^{2}$

Schritt 5.4.1.6.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = 9 x^{4} + 6 x^{3} + x^{2}$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $x'$ aus $9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x'$ heraus.

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Schritt 5.4.2.1

Faktorisiere $x'$ aus $9 x' x^{2}$ heraus.

$x' (9 x^{2}) - 24 x' x - 4 x' = 9 x^{4} + 6 x^{3} + x^{2}$

Schritt 5.4.2.2

Faktorisiere $x'$ aus $- 24 x' x$ heraus.

$x' (9 x^{2}) + x' (- 24 x) - 4 x' = 9 x^{4} + 6 x^{3} + x^{2}$

Schritt 5.4.2.3

Faktorisiere $x'$ aus $- 4 x'$ heraus.

$x' (9 x^{2}) + x' (- 24 x) + x' \cdot - 4 = 9 x^{4} + 6 x^{3} + x^{2}$

Schritt 5.4.2.4

Faktorisiere $x'$ aus $x' (9 x^{2}) + x' (- 24 x)$ heraus.

$x' (9 x^{2} - 24 x) + x' \cdot - 4 = 9 x^{4} + 6 x^{3} + x^{2}$

Schritt 5.4.2.5

Faktorisiere $x'$ aus $x' (9 x^{2} - 24 x) + x' \cdot - 4$ heraus.

$x' (9 x^{2} - 24 x - 4) = 9 x^{4} + 6 x^{3} + x^{2}$

Schritt 5.4.3

Teile jeden Ausdruck in $x' (9 x^{2} - 24 x - 4) = 9 x^{4} + 6 x^{3} + x^{2}$ durch $9 x^{2} - 24 x - 4$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x' (9 x^{2} - 24 x - 4) = 9 x^{4} + 6 x^{3} + x^{2}$ durch $9 x^{2} - 24 x - 4$ .

$\frac{x' (9 x^{2} - 24 x - 4)}{9 x^{2} - 24 x - 4} = \frac{9 x^{4}}{9 x^{2} - 24 x - 4} + \frac{6 x^{3}}{9 x^{2} - 24 x - 4} + \frac{x^{2}}{9 x^{2} - 24 x - 4}$

Schritt 5.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9 x^{2} - 24 x - 4$ .

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Schritt 5.4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' (9 x^{2} - 24 x - 4)}{9 x^{2} - 24 x - 4} = \frac{9 x^{4}}{9 x^{2} - 24 x - 4} + \frac{6 x^{3}}{9 x^{2} - 24 x - 4} + \frac{x^{2}}{9 x^{2} - 24 x - 4}$

Schritt 5.4.3.2.1.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{9 x^{4}}{9 x^{2} - 24 x - 4} + \frac{6 x^{3}}{9 x^{2} - 24 x - 4} + \frac{x^{2}}{9 x^{2} - 24 x - 4}$

Schritt 5.4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x' = \frac{9 x^{4} + 6 x^{3} + x^{2}}{9 x^{2} - 24 x - 4}$

Schritt 5.4.3.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.3.3.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $9 x^{4} + 6 x^{3} + x^{2}$ heraus.

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Schritt 5.4.3.3.2.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $9 x^{4}$ heraus.

$x' = \frac{x^{2} (9 x^{2}) + 6 x^{3} + x^{2}}{9 x^{2} - 24 x - 4}$

Schritt 5.4.3.3.2.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $6 x^{3}$ heraus.

$x' = \frac{x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (6 x) + x^{2}}{9 x^{2} - 24 x - 4}$

Schritt 5.4.3.3.2.1.3

Multipliziere mit $1$ .

$x' = \frac{x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot 1}{9 x^{2} - 24 x - 4}$

Schritt 5.4.3.3.2.1.4

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (6 x)$ heraus.

$x' = \frac{x^{2} (9 x^{2} + 6 x) + x^{2} \cdot 1}{9 x^{2} - 24 x - 4}$

Schritt 5.4.3.3.2.1.5

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (9 x^{2} + 6 x) + x^{2} \cdot 1$ heraus.

$x' = \frac{x^{2} (9 x^{2} + 6 x + 1)}{9 x^{2} - 24 x - 4}$

Schritt 5.4.3.3.2.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 5.4.3.3.2.2.1

Schreibe $9 x^{2}$ als ${(3 x)}^{2}$ um.

$x' = \frac{x^{2} ({(3 x)}^{2} + 6 x + 1)}{9 x^{2} - 24 x - 4}$

Schritt 5.4.3.3.2.2.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x' = \frac{x^{2} ({(3 x)}^{2} + 6 x + 1^{2})}{9 x^{2} - 24 x - 4}$

Schritt 5.4.3.3.2.2.3

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$6 x = 2 \cdot (3 x) \cdot 1$

Schritt 5.4.3.3.2.2.4

Schreibe das Polynom neu.

$x' = \frac{x^{2} ({(3 x)}^{2} + 2 \cdot (3 x) \cdot 1 + 1^{2})}{9 x^{2} - 24 x - 4}$

Schritt 5.4.3.3.2.2.5

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = 3 x$ und $b = 1$ .

$x' = \frac{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}{9 x^{2} - 24 x - 4}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d z}$ .

$\frac{d x}{d z} = \frac{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}{9 x^{2} - 24 x - 4}$