Analysis Beispiele

$y = \frac{765}{\sqrt[3]{x}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{765}{x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{765}{x^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Da $765$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{765}{x^{\frac{1}{3}}}$ nach $y$ gleich $765 \frac{d}{d y} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$765 \frac{d}{d y} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ gleich $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ ist mit $f (y) = 1$ und $g (y) = x^{\frac{1}{3}}$ .

$765 \frac{x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d y} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{3}}]}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$765 \frac{x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{3}}]}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Schritt 4.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

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Schritt 4.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$765 \frac{x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{3}}]}{x^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

Schritt 4.3.2.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $2$ .

$765 \frac{x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{3}}]}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.3.3

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$765 \frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 0 - \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{3}}]}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.4.1

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{3}}$ mit $0$ .

$765 \frac{0 - \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{3}}]}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.3.4.2

Subtrahiere $\frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{3}}]$ von $0$ .

$765 \frac{- \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{3}}]}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.3.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$765 (- \frac{\frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{3}}]}{x^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 4.3.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $765$ .

$- 765 \frac{\frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{3}}]}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{\frac{1}{3}}$ und $g (y) = x$ .

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Schritt 4.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x$ .

$- 765 \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d y} [x]}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$- 765 \frac{\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d y} [x]}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$- 765 \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d y} [x]}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- 765 \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d y} [x]}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$- 765 \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d y} [x]}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 765 \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d y} [x]}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 765 \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d y} [x]}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.8.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$- 765 \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d y} [x]}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 765 \frac{\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d y} [x]}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.10

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$- 765 \frac{\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d y} [x]}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.11

Bringe $x^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 765 \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d y} [x]}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.12

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$- 765 \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} x'}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.13

Kombiniere $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ und $x'$ .

$- 765 \frac{\frac{x'}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.14

Schreibe $\frac{\frac{x'}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{x^{\frac{2}{3}}}$ als ein Produkt um.

$- 765 (\frac{x'}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 4.15

Mutltipliziere $\frac{x'}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$- 765 \frac{x'}{3 x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.16

Multipliziere $x^{\frac{2}{3}}$ mit $x^{\frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.16.1

Bewege $x^{\frac{2}{3}}$ .

$- 765 \frac{x'}{3 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}})}$

Schritt 4.16.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 765 \frac{x'}{3 x^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

Schritt 4.16.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 765 \frac{x'}{3 x^{\frac{2 + 2}{3}}}$

Schritt 4.16.4

Addiere $2$ und $2$ .

$- 765 \frac{x'}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 4.17

Kombiniere $- 765$ und $\frac{x'}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{- 765 x'}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 4.18

Faktorisiere $3$ aus $- 765 x'$ heraus.

$\frac{3 (- 255 x')}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 4.19

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.19.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{\frac{4}{3}}$ heraus.

$\frac{3 (- 255 x')}{3 (x^{\frac{4}{3}})}$

Schritt 4.19.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (- 255 x')}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 4.19.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 255 x'}{x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 4.20

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{255 x'}{x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = - \frac{255 x'}{x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 6

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{255 x'}{x^{\frac{4}{3}}} = 1$ um.

$- \frac{255 x'}{x^{\frac{4}{3}}} = 1$

Schritt 6.2

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{255 x'}{x^{\frac{4}{3}}} = 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{255 x'}{x^{\frac{4}{3}}} = 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- \frac{255 x'}{x^{\frac{4}{3}}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\frac{255 x'}{x^{\frac{4}{3}}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 6.2.2.2

Dividiere $\frac{255 x'}{x^{\frac{4}{3}}}$ durch $1$ .

$\frac{255 x'}{x^{\frac{4}{3}}} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$\frac{255 x'}{x^{\frac{4}{3}}} = - 1$

Schritt 6.3

Multipliziere beide Seiten mit $x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{255 x'}{x^{\frac{4}{3}}} x^{\frac{4}{3}} = - x^{\frac{4}{3}}$

Schritt 6.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{\frac{4}{3}}$ .

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Schritt 6.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{255 x'}{x^{\frac{4}{3}}} x^{\frac{4}{3}} = - x^{\frac{4}{3}}$

Schritt 6.4.1.2

Forme den Ausdruck um.

$255 x' = - x^{\frac{4}{3}}$

Schritt 6.5

Teile jeden Ausdruck in $255 x' = - x^{\frac{4}{3}}$ durch $255$ und vereinfache.

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Schritt 6.5.1

Teile jeden Ausdruck in $255 x' = - x^{\frac{4}{3}}$ durch $255$ .

$\frac{255 x'}{255} = \frac{- x^{\frac{4}{3}}}{255}$

Schritt 6.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $255$ .

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Schritt 6.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{255 x'}{255} = \frac{- x^{\frac{4}{3}}}{255}$

Schritt 6.5.2.1.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{- x^{\frac{4}{3}}}{255}$

Schritt 6.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.5.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x' = - \frac{x^{\frac{4}{3}}}{255}$

Schritt 7

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x^{\frac{4}{3}}}{255}$