Analysis Beispiele

$y = e^{2 \ln (x)}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (e^{2 \ln (x)})$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Vereinfache $2 \ln (x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{d}{d y} [e^{\ln (x^{2})}]$

Schritt 3.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$\frac{d}{d y} [x^{2}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{2}$ und $g (y) = x$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$2 x \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.4

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$2 x x'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = 2 x x'$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $2 x x' = 1$ um.

$2 x x' = 1$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x x' = 1$ durch $2 x$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x x' = 1$ durch $2 x$ .

$\frac{2 x x'}{2 x} = \frac{1}{2 x}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x x'}{2 x} = \frac{1}{2 x}$

Schritt 5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x x'}{x} = \frac{1}{2 x}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x x'}{x} = \frac{1}{2 x}$

Schritt 5.2.2.2.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{1}{2 x}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 x}$