Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{3 x^{3}} + \frac{x^{7}}{10}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{1}{3 x^{3}} + \frac{x^{7}}{10})$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{3 x^{3}} + \frac{x^{7}}{10}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [\frac{1}{3 x^{3}}] + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{3 x^{3}}] + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d y} [\frac{1}{3 x^{3}}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{3 x^{3}}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ gleich $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ ist mit $f (y) = 1$ und $g (y) = x^{3}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d y} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Schritt 3.2.3

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Schritt 3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{3}$ und $g (y) = x$ .

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Schritt 3.2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d y} [x])}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Schritt 3.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d y} [x])}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Schritt 3.2.4.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (3 x^{2} \frac{d}{d y} [x])}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Schritt 3.2.5

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (3 x^{2} x')}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Schritt 3.2.6

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 - 1 \cdot 1 (3 x^{2} x')}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Schritt 3.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 - (3 x^{2} x')}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Schritt 3.2.8

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 - 3 (x^{2} x')}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Schritt 3.2.9

Subtrahiere $3 x^{2} x'$ von $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 x^{2} x'}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Schritt 3.2.10

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.10.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 x^{2} x'}{x^{3 \cdot 2}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Schritt 3.2.10.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 x^{2} x'}{x^{6}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Schritt 3.2.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x^{6}$ .

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Schritt 3.2.11.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 3 x^{2} x'$ heraus.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} (- 3 x')}{x^{6}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Schritt 3.2.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.11.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{6}$ heraus.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} (- 3 x')}{x^{2} x^{4}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Schritt 3.2.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} (- 3 x')}{x^{2} x^{4}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Schritt 3.2.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 x'}{x^{4}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Schritt 3.2.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{3} (- \frac{3 x'}{x^{4}}) + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Schritt 3.2.13

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{3 x'}{x^{4}}$ .

$- \frac{3 x'}{3 x^{4}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Schritt 3.2.14

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.14.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{3 x'}{3 x^{4}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Schritt 3.2.14.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{x'}{x^{4}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $\frac{1}{10}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{7}}{10}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{10} \frac{d}{d y} [x^{7}]$ .

$- \frac{x'}{x^{4}} + \frac{1}{10} \frac{d}{d y} [x^{7}]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{7}$ und $g (y) = x$ .

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Schritt 3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x$ .

$- \frac{x'}{x^{4}} + \frac{1}{10} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{7}] \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 3.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 7$ .

$- \frac{x'}{x^{4}} + \frac{1}{10} (7 {u_{2}}^{6} \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 3.3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x$ .

$- \frac{x'}{x^{4}} + \frac{1}{10} (7 x^{6} \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 3.3.3

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$- \frac{x'}{x^{4}} + \frac{1}{10} (7 x^{6} x')$

Schritt 3.3.4

Kombiniere $7$ und $\frac{1}{10}$ .

$- \frac{x'}{x^{4}} + \frac{7}{10} (x^{6} x')$

Schritt 3.3.5

Kombiniere $x^{6}$ und $\frac{7}{10}$ .

$- \frac{x'}{x^{4}} + \frac{x^{6} \cdot 7}{10} x'$

Schritt 3.3.6

Kombiniere $\frac{x^{6} \cdot 7}{10}$ und $x'$ .

$- \frac{x'}{x^{4}} + \frac{x^{6} \cdot 7 x'}{10}$

Schritt 3.3.7

Bringe $7$ auf die linke Seite von $x^{6}$ .

$- \frac{x'}{x^{4}} + \frac{7 x^{6} x'}{10}$

Schritt 3.4

Stelle die Terme um.

$\frac{7 x^{6} x'}{10} - \frac{x'}{x^{4}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = \frac{7 x^{6} x'}{10} - \frac{x'}{x^{4}}$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{7 x^{6} x'}{10} - \frac{x'}{x^{4}} = 1$ um.

$\frac{7 x^{6} x'}{10} - \frac{x'}{x^{4}} = 1$

Schritt 5.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$10, x^{4}, 1$

Schritt 5.2.2

Da $10, x^{4}, 1$ sowohl Zahlen als auch Variablen enthält, sind zwei Schritte notwendig, um das kgV zu finden. Finde das kgV für den numerischen Teil $10, 1, 1$ und anschließend für den variablen Teil $x^{4}$ .

Schritt 5.2.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 5.2.4

$10$ hat Faktoren von $2$ und $5$ .

$2 \cdot 5$

Schritt 5.2.5

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 5.2.6

Das kgV von $10, 1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$2 \cdot 5$

Schritt 5.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$10$

Schritt 5.2.8

Die Teiler von $x^{4}$ sind $x \cdot x \cdot x \cdot x$ , was $x$ $4$ -mal mit sich selbst multipliziert ist.

$x^{4} = x \cdot x \cdot x \cdot x$

$x$ tritt $4$ -mal auf.

Schritt 5.2.9

Das kgV von $x^{4}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$x \cdot x \cdot x \cdot x$

Schritt 5.2.10

Vereinfache $x \cdot x \cdot x \cdot x$ .

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Schritt 5.2.10.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} \cdot x \cdot x$

Schritt 5.2.10.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.10.2.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 5.2.10.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} \cdot x^{1} \cdot x$

Schritt 5.2.10.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2 + 1} \cdot x$

Schritt 5.2.10.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$x^{3} \cdot x$

Schritt 5.2.10.3

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.10.3.1

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

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Schritt 5.2.10.3.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{3} \cdot x^{1}$

Schritt 5.2.10.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{3 + 1}$

Schritt 5.2.10.3.2

Addiere $3$ und $1$ .

$x^{4}$

Schritt 5.2.11

Das kgV von $10, x^{4}, 1$ ist der numerische Teil $10$ multipliziert mit dem variablen Teil.

$10 x^{4}$

Schritt 5.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{7 x^{6} x'}{10} - \frac{x'}{x^{4}} = 1$ mit $10 x^{4}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{7 x^{6} x'}{10} - \frac{x'}{x^{4}} = 1$ mit $10 x^{4}$ .

$\frac{7 x^{6} x'}{10} (10 x^{4}) - \frac{x'}{x^{4}} (10 x^{4}) = 1 (10 x^{4})$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$10 \frac{7 x^{6} x'}{10} x^{4} - \frac{x'}{x^{4}} (10 x^{4}) = 1 (10 x^{4})$

Schritt 5.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 5.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$10 \frac{7 x^{6} x'}{10} x^{4} - \frac{x'}{x^{4}} (10 x^{4}) = 1 (10 x^{4})$

Schritt 5.3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$7 x^{6} x' x^{4} - \frac{x'}{x^{4}} (10 x^{4}) = 1 (10 x^{4})$

Schritt 5.3.2.1.3

Multipliziere $x^{6}$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.2.1.3.1

Bewege $x^{4}$ .

$7 (x^{4} x^{6}) x' - \frac{x'}{x^{4}} (10 x^{4}) = 1 (10 x^{4})$

Schritt 5.3.2.1.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$7 x^{4 + 6} x' - \frac{x'}{x^{4}} (10 x^{4}) = 1 (10 x^{4})$

Schritt 5.3.2.1.3.3

Addiere $4$ und $6$ .

$7 x^{10} x' - \frac{x'}{x^{4}} (10 x^{4}) = 1 (10 x^{4})$

Schritt 5.3.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{4}$ .

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Schritt 5.3.2.1.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x'}{x^{4}}$ in den Zähler.

$7 x^{10} x' + \frac{- x'}{x^{4}} (10 x^{4}) = 1 (10 x^{4})$

Schritt 5.3.2.1.4.2

Faktorisiere $x^{4}$ aus $10 x^{4}$ heraus.

$7 x^{10} x' + \frac{- x'}{x^{4}} (x^{4} \cdot 10) = 1 (10 x^{4})$

Schritt 5.3.2.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$7 x^{10} x' + \frac{- x'}{x^{4}} (x^{4} \cdot 10) = 1 (10 x^{4})$

Schritt 5.3.2.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$7 x^{10} x' - x' \cdot 10 = 1 (10 x^{4})$

Schritt 5.3.2.1.5

Mutltipliziere $10$ mit $- 1$ .

$7 x^{10} x' - 10 x' = 1 (10 x^{4})$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Mutltipliziere $10 x^{4}$ mit $1$ .

$7 x^{10} x' - 10 x' = 10 x^{4}$

Schritt 5.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $x'$ aus $7 x^{10} x' - 10 x'$ heraus.

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Schritt 5.4.1.1

Faktorisiere $x'$ aus $7 x^{10} x'$ heraus.

$x' (7 x^{10}) - 10 x' = 10 x^{4}$

Schritt 5.4.1.2

Faktorisiere $x'$ aus $- 10 x'$ heraus.

$x' (7 x^{10}) + x' \cdot - 10 = 10 x^{4}$

Schritt 5.4.1.3

Faktorisiere $x'$ aus $x' (7 x^{10}) + x' \cdot - 10$ heraus.

$x' (7 x^{10} - 10) = 10 x^{4}$

Schritt 5.4.2

Teile jeden Ausdruck in $x' (7 x^{10} - 10) = 10 x^{4}$ durch $7 x^{10} - 10$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $x' (7 x^{10} - 10) = 10 x^{4}$ durch $7 x^{10} - 10$ .

$\frac{x' (7 x^{10} - 10)}{7 x^{10} - 10} = \frac{10 x^{4}}{7 x^{10} - 10}$

Schritt 5.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7 x^{10} - 10$ .

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Schritt 5.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' (7 x^{10} - 10)}{7 x^{10} - 10} = \frac{10 x^{4}}{7 x^{10} - 10}$

Schritt 5.4.2.2.1.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{10 x^{4}}{7 x^{10} - 10}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{10 x^{4}}{7 x^{10} - 10}$