Analysis Beispiele

$y = \frac{2 x^{2} - 5 x}{3}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{2 x^{2} - 5 x}{3})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{2} - 5 x$ heraus.

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Schritt 3.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{x (2 x) - 5 x}{3}]$

Schritt 3.1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 5 x$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{x (2 x) + x \cdot - 5}{3}]$

Schritt 3.1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x (2 x) + x \cdot - 5$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{x (2 x - 5)}{3}]$

Schritt 3.1.2

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x (2 x - 5)}{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x (2 x - 5)]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x (2 x - 5)]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = 2 x - 5$ .

$\frac{1}{3} (x \frac{d}{d x} [2 x - 5] + (2 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{1}{3} (x (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (2 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} (x (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (2 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{3} (x (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (2 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} (x (2 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (2 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3.5

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{3} (x (2 + 0) + (2 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.6.1

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{1}{3} (x \cdot 2 + (2 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3.6.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{1}{3} (2 \cdot x + (2 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{3} (2 x + (2 x - 5) \cdot 1)$

Schritt 3.3.8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.3.8.1

Mutltipliziere $2 x - 5$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} (2 x + 2 x - 5)$

Schritt 3.3.8.2

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$\frac{1}{3} (4 x - 5)$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{3} (4 x) + \frac{1}{3} \cdot - 5$

Schritt 3.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.4.2.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{4}{3} x + \frac{1}{3} \cdot - 5$

Schritt 3.4.2.2

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $x$ .

$\frac{4 x}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 5$

Schritt 3.4.2.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 5$ .

$\frac{4 x}{3} + \frac{- 5}{3}$

Schritt 3.4.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{4 x}{3} - \frac{5}{3}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{4 x}{3} - \frac{5}{3}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x}{3} - \frac{5}{3}$