Analysis Beispiele

$y = \frac{4 x^{5}}{5} - 3 x$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{4 x^{5}}{5} - 3 x)$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{4 x^{5}}{5} - 3 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{5}}{5}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $\frac{4}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4 x^{5}}{5}$ nach $x$ gleich $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$\frac{4}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Schritt 3.2.3

Kombiniere $5$ und $\frac{4}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 4}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$\frac{20}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Schritt 3.2.5

Kombiniere $\frac{20}{5}$ und $x^{4}$ .

$\frac{20 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Schritt 3.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $20$ und $5$ .

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Schritt 3.2.6.1

Faktorisiere $5$ aus $20 x^{4}$ heraus.

$\frac{5 (4 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Schritt 3.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.6.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$\frac{5 (4 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Schritt 3.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 (4 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Schritt 3.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Schritt 3.2.6.2.4

Dividiere $4 x^{4}$ durch $1$ .

$4 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{4} - 3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 x^{4} - 3 \cdot 1$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$4 x^{4} - 3$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 4 x^{4} - 3$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 x^{4} - 3$