Analysis Beispiele

$y = \frac{3 x - 4}{x^{3}}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{3 x - 4}{x^{3}})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 3 x - 4$ und $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [3 x - 4] - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [3 x - 4] - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [3 x - 4] - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.2.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{3} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x^{3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.2.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{x^{3} (3 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.2.6

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{3} (3 + 0) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.2.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.7.1

Addiere $3$ und $0$ .

$\frac{x^{3} \cdot 3 - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.2.7.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$\frac{3 \cdot x^{3} - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{3 x^{3} - (3 x - 4) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Schritt 3.2.9

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{3 x^{3} - 3 (3 x - 4) x^{2}}{x^{6}}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x^{3} + (- 3 (3 x) - 3 \cdot - 4) x^{2}}{x^{6}}$

Schritt 3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x^{3} - 3 (3 x) x^{2} - 3 \cdot - 4 x^{2}}{x^{6}}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.3.1.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.3.1.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{3} - 3 (3 (x^{2} x)) - 3 \cdot - 4 x^{2}}{x^{6}}$

Schritt 3.3.3.1.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 3.3.3.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{3 x^{3} - 3 (3 (x^{2} x^{1})) - 3 \cdot - 4 x^{2}}{x^{6}}$

Schritt 3.3.3.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 x^{3} - 3 (3 x^{2 + 1}) - 3 \cdot - 4 x^{2}}{x^{6}}$

Schritt 3.3.3.1.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{3 x^{3} - 3 (3 x^{3}) - 3 \cdot - 4 x^{2}}{x^{6}}$

Schritt 3.3.3.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$\frac{3 x^{3} - 9 x^{3} - 3 \cdot - 4 x^{2}}{x^{6}}$

Schritt 3.3.3.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 4$ .

$\frac{3 x^{3} - 9 x^{3} + 12 x^{2}}{x^{6}}$

Schritt 3.3.3.2

Subtrahiere $9 x^{3}$ von $3 x^{3}$ .

$\frac{- 6 x^{3} + 12 x^{2}}{x^{6}}$

Schritt 3.3.4

Faktorisiere $6 x^{2}$ aus $- 6 x^{3} + 12 x^{2}$ heraus.

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Schritt 3.3.4.1

Faktorisiere $6 x^{2}$ aus $- 6 x^{3}$ heraus.

$\frac{6 x^{2} (- x) + 12 x^{2}}{x^{6}}$

Schritt 3.3.4.2

Faktorisiere $6 x^{2}$ aus $12 x^{2}$ heraus.

$\frac{6 x^{2} (- x) + 6 x^{2} (2)}{x^{6}}$

Schritt 3.3.4.3

Faktorisiere $6 x^{2}$ aus $6 x^{2} (- x) + 6 x^{2} (2)$ heraus.

$\frac{6 x^{2} (- x + 2)}{x^{6}}$

Schritt 3.3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x^{6}$ .

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Schritt 3.3.5.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $6 x^{2} (- x + 2)$ heraus.

$\frac{x^{2} (6 (- x + 2))}{x^{6}}$

Schritt 3.3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.5.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{6}$ heraus.

$\frac{x^{2} (6 (- x + 2))}{x^{2} x^{4}}$

Schritt 3.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} (6 (- x + 2))}{x^{2} x^{4}}$

Schritt 3.3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6 (- x + 2)}{x^{4}}$

Schritt 3.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{6 (- (x) + 2)}{x^{4}}$

Schritt 3.3.7

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$\frac{6 (- (x) - 1 (- 2))}{x^{4}}$

Schritt 3.3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 2)$ heraus.

$\frac{6 (- (x - 2))}{x^{4}}$

Schritt 3.3.9

Schreibe $- (x - 2)$ als $- 1 (x - 2)$ um.

$\frac{6 (- 1 (x - 2))}{x^{4}}$

Schritt 3.3.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{6 (x - 2)}{x^{4}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - \frac{6 (x - 2)}{x^{4}}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 (x - 2)}{x^{4}}$