Analysis Beispiele

$y = \frac{2 \cos (x)}{1 + \sin (x)}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{2 \cos (x)}{1 + \sin (x)})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 \cos (x)}{1 + \sin (x)}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 1 + \sin (x)$ .

$2 \frac{(1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 3.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$2 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 3.4

Differenziere.

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Schritt 3.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 3.4.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 3.4.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 3.5

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$2 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 3.6

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$2 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 3.7

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$2 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 3.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 3.9

Addiere $1$ und $1$ .

$2 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 3.10

Kombiniere $2$ und $\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$ .

$\frac{2 ((1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 3.11

Vereinfache.

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Schritt 3.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (1 (- \sin (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 3.11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (1 (- \sin (x))) + 2 (\sin (x) (- \sin (x))) + 2 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 3.11.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.11.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.11.3.1.1

Mutltipliziere $- \sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{2 (- \sin (x)) + 2 (\sin (x) (- \sin (x))) + 2 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 3.11.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- 2 \sin (x) + 2 (\sin (x) (- \sin (x))) + 2 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 3.11.3.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- 2 \sin (x) + 2 (- \sin (x) \sin (x)) + 2 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 3.11.3.1.4

Multipliziere $- \sin (x) \sin (x)$ .

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Schritt 3.11.3.1.4.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{- 2 \sin (x) + 2 (- (\sin^{1} (x) \sin (x))) + 2 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 3.11.3.1.4.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{- 2 \sin (x) + 2 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + 2 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 3.11.3.1.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 2 \sin (x) + 2 (- {\sin (x)}^{1 + 1}) + 2 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 3.11.3.1.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- 2 \sin (x) + 2 (- \sin^{2} (x)) + 2 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 3.11.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- 2 \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) + 2 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 3.11.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- 2 \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 3.11.3.2

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 \sin^{2} (x)$ heraus.

$\frac{- 2 \sin (x) - 2 (\sin^{2} (x)) - 2 \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 3.11.3.3

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 \cos^{2} (x)$ heraus.

$\frac{- 2 \sin (x) - 2 (\sin^{2} (x)) - 2 (\cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 3.11.3.4

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 (\sin^{2} (x)) - 2 (\cos^{2} (x))$ heraus.

$\frac{- 2 \sin (x) - 2 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 3.11.3.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{- 2 \sin (x) - 2 \cdot 1}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 3.11.3.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{- 2 \sin (x) - 2}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 3.11.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- 2 - 2 \sin (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 3.11.5

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 - 2 \sin (x)$ heraus.

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Schritt 3.11.5.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{- 2 (1) - 2 \sin (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 3.11.5.2

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 \sin (x)$ heraus.

$\frac{- 2 (1) - 2 (\sin (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 3.11.5.3

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 (1) - 2 (\sin (x))$ heraus.

$\frac{- 2 (1 + \sin (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 3.11.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1 + \sin (x)$ und ${(1 + \sin (x))}^{2}$ .

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Schritt 3.11.6.1

Faktorisiere $1 + \sin (x)$ aus $- 2 (1 + \sin (x))$ heraus.

$\frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 2}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 3.11.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.11.6.2.1

Faktorisiere $1 + \sin (x)$ aus ${(1 + \sin (x))}^{2}$ heraus.

$\frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 2}{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

Schritt 3.11.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 2}{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

Schritt 3.11.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2}{1 + \sin (x)}$

Schritt 3.11.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{1 + \sin (x)}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - \frac{2}{1 + \sin (x)}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2}{1 + \sin (x)}$