Analysis Beispiele

$y = \frac{3 - \cos (x)}{6 + \cos (x)}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{3 - \cos (x)}{6 + \cos (x)})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 3 - \cos (x)$ und $g (x) = 6 + \cos (x)$ .

$\frac{(6 + \cos (x)) \frac{d}{d x} [3 - \cos (x)] - (3 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [6 + \cos (x)]}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 - \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{(6 + \cos (x)) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) - (3 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [6 + \cos (x)]}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(6 + \cos (x)) (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) - (3 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [6 + \cos (x)]}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{(6 + \cos (x)) \frac{d}{d x} [- \cos (x)] - (3 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [6 + \cos (x)]}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cos (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(6 + \cos (x)) (- \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (3 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [6 + \cos (x)]}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$\frac{(6 + \cos (x)) (- - \sin (x)) - (3 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [6 + \cos (x)]}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.4

Differenziere.

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Schritt 3.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{(6 + \cos (x)) (1 \sin (x)) - (3 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [6 + \cos (x)]}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{(6 + \cos (x)) \sin (x) - (3 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [6 + \cos (x)]}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.4.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 + \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(6 + \cos (x)) \sin (x) - (3 - \cos (x)) (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.4.4

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(6 + \cos (x)) \sin (x) - (3 - \cos (x)) (0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.4.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(6 + \cos (x)) \sin (x) - (3 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.5

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$\frac{(6 + \cos (x)) \sin (x) - (3 - \cos (x)) (- \sin (x))}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.6

Multipliziere.

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Schritt 3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{(6 + \cos (x)) \sin (x) + 1 (3 - \cos (x)) \sin (x)}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $3 - \cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{(6 + \cos (x)) \sin (x) + (3 - \cos (x)) \sin (x)}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.7

Vereinfache.

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Schritt 3.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + (3 - \cos (x)) \sin (x)}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + 3 \sin (x) - \cos (x) \sin (x)}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.7.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.7.3.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $6 \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + 3 \sin (x) - \cos (x) \sin (x)$ .

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Schritt 3.7.3.1.1

Subtrahiere $\cos (x) \sin (x)$ von $\cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{6 \sin (x) + 0 + 3 \sin (x)}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.7.3.1.2

Addiere $6 \sin (x)$ und $0$ .

$\frac{6 \sin (x) + 3 \sin (x)}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.7.3.2

Addiere $6 \sin (x)$ und $3 \sin (x)$ .

$\frac{9 \sin (x)}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{9 \sin (x)}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{9 \sin (x)}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$