Analysis Beispiele

$y = e^{3 x \tan (7 x)}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{3 x \tan (7 x)})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 3 x \tan (7 x)$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $3 x \tan (7 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x \tan (7 x)]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x \tan (7 x)]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $3 x \tan (7 x)$ .

$e^{3 x \tan (7 x)} \frac{d}{d x} [3 x \tan (7 x)]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 3.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x \tan (7 x)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x \tan (7 x)]$ .

$e^{3 x \tan (7 x)} (3 \frac{d}{d x} [x \tan (7 x)])$

Schritt 3.2.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e^{3 x \tan (7 x)}$ .

$3 \cdot e^{3 x \tan (7 x)} \frac{d}{d x} [x \tan (7 x)]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \tan (7 x)$ .

$3 e^{3 x \tan (7 x)} (x \frac{d}{d x} [\tan (7 x)] + \tan (7 x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = 7 x$ .

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Schritt 3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $7 x$ .

$3 e^{3 x \tan (7 x)} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [7 x]) + \tan (7 x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4.2

Die Ableitung von $\tan (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sec^{2} (u_{2})$ .

$3 e^{3 x \tan (7 x)} (x (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [7 x]) + \tan (7 x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $7 x$ .

$3 e^{3 x \tan (7 x)} (x (\sec^{2} (7 x) \frac{d}{d x} [7 x]) + \tan (7 x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.5

Differenziere.

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Schritt 3.5.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 e^{3 x \tan (7 x)} (x (\sec^{2} (7 x) (7 \frac{d}{d x} [x])) + \tan (7 x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 e^{3 x \tan (7 x)} (x (\sec^{2} (7 x) (7 \cdot 1)) + \tan (7 x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.5.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.5.3.1

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$3 e^{3 x \tan (7 x)} (x (\sec^{2} (7 x) \cdot 7) + \tan (7 x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.5.3.2

Bringe $7$ auf die linke Seite von $\sec^{2} (7 x)$ .

$3 e^{3 x \tan (7 x)} (x (7 \cdot \sec^{2} (7 x)) + \tan (7 x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.5.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 e^{3 x \tan (7 x)} (x (7 \sec^{2} (7 x)) + \tan (7 x) \cdot 1)$

Schritt 3.5.5

Mutltipliziere $\tan (7 x)$ mit $1$ .

$3 e^{3 x \tan (7 x)} (x (7 \sec^{2} (7 x)) + \tan (7 x))$

Schritt 3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 e^{3 x \tan (7 x)} (x (7 \sec^{2} (7 x))) + 3 e^{3 x \tan (7 x)} \tan (7 x)$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $7$ mit $3$ .

$21 e^{3 x \tan (7 x)} x \sec^{2} (7 x) + 3 e^{3 x \tan (7 x)} \tan (7 x)$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 21 e^{3 x \tan (7 x)} x \sec^{2} (7 x) + 3 e^{3 x \tan (7 x)} \tan (7 x)$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 21 e^{3 x \tan (7 x)} x \sec^{2} (7 x) + 3 e^{3 x \tan (7 x)} \tan (7 x)$