Analysis Beispiele

$\int_{- 1}^{1} 3^{2 x - 1} d x$

Schritt 1

Sei $u = 2 x - 1$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 2 x - 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 2 x - 1$ ein.

$u_{lower} = 2 \cdot - 1 - 1$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$u_{lower} = - 2 - 1$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $1$ von $- 2$ .

$u_{lower} = - 3$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 2 x - 1$ ein.

$u_{upper} = 2 \cdot 1 - 1$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u_{upper} = 2 - 1$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$u_{upper} = 1$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = 1$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{- 3}^{1} 3^{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2

Kombiniere $3^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int_{- 3}^{1} \frac{3^{u}}{2} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int_{- 3}^{1} 3^{u} d u$

Schritt 4

Das Integral von $3^{u}$ nach $u$ ist $\frac{3^{u}}{\ln (3)}$ .

$\frac{1}{2} \frac{3^{u}}{\ln (3)}]_{- 3}^{1}$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\frac{3^{u}}{\ln (3)}]_{- 3}^{1}$ .

$\frac{\frac{3^{u}}{\ln (3)}]_{- 3}^{1}}{2}$

Schritt 6

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.1

Berechne $\frac{3^{u}}{\ln (3)}$ bei $1$ und $- 3$ .

$\frac{(\frac{3^{1}}{\ln (3)}) - \frac{3^{- 3}}{\ln (3)}}{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Berechne den Exponenten.

$\frac{\frac{3}{\ln (3)} - \frac{3^{- 3}}{\ln (3)}}{2}$

Schritt 6.2.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{3}{\ln (3)} - \frac{\frac{1}{3^{3}}}{\ln (3)}}{2}$

Schritt 6.2.3

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{\frac{3}{\ln (3)} - \frac{\frac{1}{27}}{\ln (3)}}{2}$

Schritt 6.2.4

Schreibe $\frac{\frac{1}{27}}{\ln (3)}$ als ein Produkt um.

$\frac{\frac{3}{\ln (3)} - (\frac{1}{27} \cdot \frac{1}{\ln (3)})}{2}$

Schritt 6.2.5

Mutltipliziere $\frac{1}{27}$ mit $\frac{1}{\ln (3)}$ .

$\frac{\frac{3}{\ln (3)} - \frac{1}{27 \ln (3)}}{2}$

Schritt 6.2.6

Mutltipliziere $\frac{\frac{3}{\ln (3)} - \frac{1}{27 \ln (3)}}{2}$ mit $\frac{\ln (3)}{\ln (3)}$ .

$\frac{\ln (3)}{\ln (3)} \cdot \frac{\frac{3}{\ln (3)} - \frac{1}{27 \ln (3)}}{2}$

Schritt 6.2.7

Kombinieren.

$\frac{\ln (3) (\frac{3}{\ln (3)} - \frac{1}{27 \ln (3)})}{\ln (3) \cdot 2}$

Schritt 6.2.8

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\ln (3) \frac{3}{\ln (3)} + \ln (3) (- \frac{1}{27 \ln (3)})}{\ln (3) \cdot 2}$

Schritt 6.2.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (3)$ .

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Schritt 6.2.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln (3) \frac{3}{\ln (3)} + \ln (3) (- \frac{1}{27 \ln (3)})}{\ln (3) \cdot 2}$

Schritt 6.2.9.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 + \ln (3) (- \frac{1}{27 \ln (3)})}{\ln (3) \cdot 2}$

Schritt 6.2.10

Kombiniere $\ln (3)$ und $\frac{1}{27 \ln (3)}$ .

$\frac{3 - \frac{\ln (3)}{27 \ln (3)}}{\ln (3) \cdot 2}$

Schritt 6.2.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (3)$ .

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Schritt 6.2.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 - \frac{\ln (3)}{27 \ln (3)}}{\ln (3) \cdot 2}$

Schritt 6.2.11.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 - \frac{1}{27}}{\ln (3) \cdot 2}$

Schritt 6.2.12

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{27}{27}$ .

$\frac{3 \cdot \frac{27}{27} - \frac{1}{27}}{\ln (3) \cdot 2}$

Schritt 6.2.13

Kombiniere $3$ und $\frac{27}{27}$ .

$\frac{\frac{3 \cdot 27}{27} - \frac{1}{27}}{\ln (3) \cdot 2}$

Schritt 6.2.14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{3 \cdot 27 - 1}{27}}{\ln (3) \cdot 2}$

Schritt 6.2.15

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.15.1

Mutltipliziere $3$ mit $27$ .

$\frac{\frac{81 - 1}{27}}{\ln (3) \cdot 2}$

Schritt 6.2.15.2

Subtrahiere $1$ von $81$ .

$\frac{\frac{80}{27}}{\ln (3) \cdot 2}$

Schritt 6.2.16

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\ln (3)$ .

$\frac{\frac{80}{27}}{2 \cdot \ln (3)}$

Schritt 6.2.17

Schreibe $\frac{\frac{80}{27}}{2 \ln (3)}$ als ein Produkt um.

$\frac{80}{27} \cdot \frac{1}{2 \ln (3)}$

Schritt 6.2.18

Mutltipliziere $\frac{80}{27}$ mit $\frac{1}{2 \ln (3)}$ .

$\frac{80}{27 (2 \ln (3))}$

Schritt 6.2.19

Mutltipliziere $2$ mit $27$ .

$\frac{80}{54 \ln (3)}$

Schritt 6.2.20

Kürze den gemeinsamen Teiler von $80$ und $54$ .

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Schritt 6.2.20.1

Faktorisiere $2$ aus $80$ heraus.

$\frac{2 (40)}{54 \ln (3)}$

Schritt 6.2.20.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.20.2.1

Faktorisiere $2$ aus $54 \ln (3)$ heraus.

$\frac{2 (40)}{2 (27 \ln (3))}$

Schritt 6.2.20.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 40}{2 (27 \ln (3))}$

Schritt 6.2.20.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{40}{27 \ln (3)}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{40}{27 \ln (3)}$

Dezimalform:

$1.34850255 \dots$

Schritt 8