Analysis Beispiele

$y = arccot (\sqrt{x})$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = arccot (x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (arccot (x^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 3

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = arccot (x)$ und $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 4.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [arccot (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.1.2

Die Ableitung von $arccot (u)$ nach $u$ ist $- \frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$- \frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{1 + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{1 + x^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{1 + x^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{1 + x^{1}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.3

Vereinfache.

$- \frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 4.5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 4.6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 4.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 4.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 4.8.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- \frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 4.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 4.10

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{1 + x} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 4.11

Mutltipliziere $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ mit $\frac{1}{1 + x}$ .

$- \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 (1 + x)}$

Schritt 4.12

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 (1 + x) x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.13

Vereinfache.

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Schritt 4.13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{1}{(2 \cdot 1 + 2 x) x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.13.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{1}{2 \cdot 1 x^{\frac{1}{2}} + 2 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.13.3

Vereine die Terme

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Schritt 4.13.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.13.3.2

Multipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.13.3.2.1

Bewege $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (x^{\frac{1}{2}} x)}$

Schritt 4.13.3.2.2

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x$ .

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Schritt 4.13.3.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1})}$

Schritt 4.13.3.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2} + 1}}$

Schritt 4.13.3.2.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Schritt 4.13.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Schritt 4.13.3.2.5

Addiere $1$ und $2$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.13.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.13.4.1

Faktorisiere $2 x^{\frac{1}{2}}$ aus $2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}}$ heraus.

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Schritt 4.13.4.1.1

Faktorisiere $2 x^{\frac{1}{2}}$ aus $2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1) + 2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.13.4.1.2

Faktorisiere $2 x^{\frac{1}{2}}$ aus $2 x^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1) + 2 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{2}{2}})}$

Schritt 4.13.4.1.3

Faktorisiere $2 x^{\frac{1}{2}}$ aus $2 x^{\frac{1}{2}} (1) + 2 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{2}{2}})$ heraus.

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{2}{2}})}$

Schritt 4.13.4.2

Dividiere $2$ durch $2$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{1})}$

Schritt 4.13.4.3

Vereinfache.

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)}$