Analysis Beispiele

$y = \frac{\cot (x)}{1 + \csc (x)}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\cot (x)}{1 + \csc (x)})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \cot (x)$ und $g (x) = 1 + \csc (x)$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [\cot (x)] - \cot (x) \frac{d}{d x} [1 + \csc (x)]}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\cot (x)$ nach $x$ ist $- \csc^{2} (x)$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) \frac{d}{d x} [1 + \csc (x)]}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \csc (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\csc (x)])}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) (0 + \frac{d}{d x} [\csc (x)])}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Schritt 3.4

Die Ableitung von $\csc (x)$ nach $x$ ist $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Schritt 3.5

Multipliziere.

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) + 1 \cot (x) (\csc (x) \cot (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $\cot (x)$ mit $1$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (\csc (x) \cot (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Schritt 3.6

Potenziere $\cot (x)$ mit $1$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) + \cot^{1} (x) \cot (x) \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Schritt 3.7

Potenziere $\cot (x)$ mit $1$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) + \cot^{1} (x) \cot^{1} (x) \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Schritt 3.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) + {\cot (x)}^{1 + 1} \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Schritt 3.9

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) + \cot^{2} (x) \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Schritt 3.10

Vereinfache.

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Schritt 3.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 (- \csc^{2} (x)) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot^{2} (x) \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Schritt 3.10.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.10.2.1

Faktorisiere $\csc (x)$ aus $1 (- \csc^{2} (x)) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot^{2} (x) \csc (x)$ heraus.

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Schritt 3.10.2.1.1

Faktorisiere $\csc (x)$ aus $1 (- \csc^{2} (x))$ heraus.

$\frac{\csc (x) (1 (- \csc (x))) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot^{2} (x) \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Schritt 3.10.2.1.2

Faktorisiere $\csc (x)$ aus $\cot^{2} (x) \csc (x)$ heraus.

$\frac{\csc (x) (1 (- \csc (x))) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)) + \csc (x) \cot^{2} (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Schritt 3.10.2.1.3

Faktorisiere $\csc (x)$ aus $\csc (x) (1 (- \csc (x))) + \csc (x) (- \csc^{2} (x))$ heraus.

$\frac{\csc (x) (1 (- \csc (x)) - \csc^{2} (x)) + \csc (x) \cot^{2} (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Schritt 3.10.2.1.4

Faktorisiere $\csc (x)$ aus $\csc (x) (1 (- \csc (x)) - \csc^{2} (x)) + \csc (x) \cot^{2} (x)$ heraus.

$\frac{\csc (x) (1 (- \csc (x)) - \csc^{2} (x) + \cot^{2} (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Schritt 3.10.2.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \csc^{2} (x)$ heraus.

$\frac{\csc (x) (1 (- \csc (x)) - (\csc^{2} (x)) + \cot^{2} (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Schritt 3.10.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $\cot^{2} (x)$ heraus.

$\frac{\csc (x) (1 (- \csc (x)) - (\csc^{2} (x)) - 1 (- \cot^{2} (x)))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Schritt 3.10.2.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\csc^{2} (x)) - 1 (- \cot^{2} (x))$ heraus.

$\frac{\csc (x) (1 (- \csc (x)) - (\csc^{2} (x) - \cot^{2} (x)))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Schritt 3.10.2.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{\csc (x) (1 (- \csc (x)) - 1 \cdot 1)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Schritt 3.10.2.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.10.2.6.1

Mutltipliziere $- \csc (x)$ mit $1$ .

$\frac{\csc (x) (- \csc (x) - 1 \cdot 1)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Schritt 3.10.2.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\csc (x) (- \csc (x) - 1)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Schritt 3.10.2.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\csc (x) (- \csc (x)) + \csc (x) \cdot - 1}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Schritt 3.10.2.8

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- \csc (x) \csc (x) + \csc (x) \cdot - 1}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Schritt 3.10.2.9

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\csc (x)$ .

$\frac{- \csc (x) \csc (x) - 1 \cdot \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Schritt 3.10.2.10

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.10.2.10.1

Multipliziere $- \csc (x) \csc (x)$ .

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Schritt 3.10.2.10.1.1

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$\frac{- (\csc^{1} (x) \csc (x)) - 1 \cdot \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Schritt 3.10.2.10.1.2

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$\frac{- (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) - 1 \cdot \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Schritt 3.10.2.10.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- {\csc (x)}^{1 + 1} - 1 \cdot \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Schritt 3.10.2.10.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- \csc^{2} (x) - 1 \cdot \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Schritt 3.10.2.10.2

Schreibe $- 1 \csc (x)$ als $- \csc (x)$ um.

$\frac{- \csc^{2} (x) - \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Schritt 3.10.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.10.3.1

Faktorisiere $\csc (x)$ aus $- \csc^{2} (x) - \csc (x)$ heraus.

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Schritt 3.10.3.1.1

Faktorisiere $\csc (x)$ aus $- \csc^{2} (x)$ heraus.

$\frac{\csc (x) (- \csc (x)) - \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Schritt 3.10.3.1.2

Faktorisiere $\csc (x)$ aus $- \csc (x)$ heraus.

$\frac{\csc (x) (- \csc (x)) + \csc (x) \cdot - 1}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Schritt 3.10.3.1.3

Faktorisiere $\csc (x)$ aus $\csc (x) (- \csc (x)) + \csc (x) \cdot - 1$ heraus.

$\frac{\csc (x) (- \csc (x) - 1)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Schritt 3.10.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \csc (x) - 1$ heraus.

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Schritt 3.10.3.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \csc (x)$ heraus.

$\frac{\csc (x) (- (\csc (x)) - 1)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Schritt 3.10.3.2.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{\csc (x) (- (\csc (x)) - 1 (1))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Schritt 3.10.3.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\csc (x)) - 1 (1)$ heraus.

$\frac{\csc (x) (- (\csc (x) + 1))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

$\frac{\csc (x) \cdot - 1 (\csc (x) + 1)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Schritt 3.10.3.3

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\frac{- \csc (x) (\csc (x) + 1)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Schritt 3.10.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\csc (x) + 1$ und ${(1 + \csc (x))}^{2}$ .

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Schritt 3.10.4.1

Stelle die Terme um.

$\frac{- \csc (x) (1 + \csc (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Schritt 3.10.4.2

Faktorisiere $1 + \csc (x)$ aus $- \csc (x) (1 + \csc (x))$ heraus.

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Schritt 3.10.4.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.10.4.3.1

Faktorisiere $1 + \csc (x)$ aus ${(1 + \csc (x))}^{2}$ heraus.

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 + \csc (x))}$

Schritt 3.10.4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 + \csc (x))}$

Schritt 3.10.4.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \csc (x)}{1 + \csc (x)}$

Schritt 3.10.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - \frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)}$