Analysis Beispiele

$y = \frac{8 - \sec (x)}{\tan (x)}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{8 - \sec (x)}{\tan (x)})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 8 - \sec (x)$ und $g (x) = \tan (x)$ .

$\frac{\tan (x) \frac{d}{d x} [8 - \sec (x)] - (8 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Schritt 3.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 - \sec (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- \sec (x)]$ .

$\frac{\tan (x) (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- \sec (x)]) - (8 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Schritt 3.2.2

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\tan (x) (0 + \frac{d}{d x} [- \sec (x)]) - (8 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Schritt 3.2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- \sec (x)]$ .

$\frac{\tan (x) \frac{d}{d x} [- \sec (x)] - (8 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Schritt 3.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \sec (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$\frac{\tan (x) (- \frac{d}{d x} [\sec (x)]) - (8 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Schritt 3.3

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{\tan (x) (- (\sec (x) \tan (x))) - (8 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Schritt 3.4

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\frac{- \sec (x) (\tan^{1} (x) \tan (x)) - (8 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Schritt 3.5

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\frac{- \sec (x) (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) - (8 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Schritt 3.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- \sec (x) {\tan (x)}^{1 + 1} - (8 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Schritt 3.7

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - (8 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Schritt 3.8

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - (8 - \sec (x)) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Schritt 3.9

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) + (- 1 \cdot 8 - - \sec (x)) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Schritt 3.9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - 1 \cdot 8 \sec^{2} (x) - - \sec (x) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Schritt 3.9.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.9.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.9.3.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - 8 \sec^{2} (x) - - \sec (x) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Schritt 3.9.3.1.2

Multipliziere $\sec (x)$ mit $\sec^{2} (x)$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.9.3.1.2.1

Bewege $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - 8 \sec^{2} (x) - - (\sec^{2} (x) \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Schritt 3.9.3.1.2.2

Mutltipliziere $\sec^{2} (x)$ mit $\sec (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.9.3.1.2.2.1

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - 8 \sec^{2} (x) - - (\sec^{2} (x) \sec^{1} (x))}{\tan^{2} (x)}$

Schritt 3.9.3.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - 8 \sec^{2} (x) - - {\sec (x)}^{2 + 1}}{\tan^{2} (x)}$

Schritt 3.9.3.1.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - 8 \sec^{2} (x) - - \sec^{3} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Schritt 3.9.3.1.3

Multipliziere $- - \sec^{3} (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.9.3.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - 8 \sec^{2} (x) + 1 \sec^{3} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Schritt 3.9.3.1.3.2

Mutltipliziere $\sec^{3} (x)$ mit $1$ .

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - 8 \sec^{2} (x) + \sec^{3} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Schritt 3.9.3.2

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $- \sec (x) \tan^{2} (x) - 8 \sec^{2} (x) + \sec^{3} (x)$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.9.3.2.1

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $- \sec (x) \tan^{2} (x)$ heraus.

$\frac{\sec (x) (- \tan^{2} (x)) - 8 \sec^{2} (x) + \sec^{3} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Schritt 3.9.3.2.2

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $- 8 \sec^{2} (x)$ heraus.

$\frac{\sec (x) (- \tan^{2} (x)) + \sec (x) (- 8 \sec (x)) + \sec^{3} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Schritt 3.9.3.2.3

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $\sec^{3} (x)$ heraus.

$\frac{\sec (x) (- \tan^{2} (x)) + \sec (x) (- 8 \sec (x)) + \sec (x) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Schritt 3.9.3.2.4

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $\sec (x) (- \tan^{2} (x)) + \sec (x) (- 8 \sec (x))$ heraus.

$\frac{\sec (x) (- \tan^{2} (x) - 8 \sec (x)) + \sec (x) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Schritt 3.9.3.2.5

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $\sec (x) (- \tan^{2} (x) - 8 \sec (x)) + \sec (x) \sec^{2} (x)$ heraus.

$\frac{\sec (x) (- \tan^{2} (x) - 8 \sec (x) + \sec^{2} (x))}{\tan^{2} (x)}$

Schritt 3.9.3.3

Bewege $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (- \tan^{2} (x) + \sec^{2} (x) - 8 \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Schritt 3.9.3.4

Stelle $- \tan^{2} (x)$ und $\sec^{2} (x)$ um.

$\frac{\sec (x) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) - 8 \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Schritt 3.9.3.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{\sec (x) (1 - 8 \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Schritt 3.9.3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- 8 \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Schritt 3.9.3.7

Mutltipliziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sec (x) + \sec (x) (- 8 \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Schritt 3.9.3.8

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\sec (x) - 8 \sec (x) \sec (x)}{\tan^{2} (x)}$

Schritt 3.9.3.9

Multipliziere $- 8 \sec (x) \sec (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.9.3.9.1

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sec (x) - 8 (\sec^{1} (x) \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Schritt 3.9.3.9.2

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sec (x) - 8 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x))}{\tan^{2} (x)}$

Schritt 3.9.3.9.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sec (x) - 8 {\sec (x)}^{1 + 1}}{\tan^{2} (x)}$

Schritt 3.9.3.9.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sec (x) - 8 \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Schritt 3.9.4

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $\sec (x) - 8 \sec^{2} (x)$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.9.4.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{\sec (x) \cdot 1 - 8 \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Schritt 3.9.4.2

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $- 8 \sec^{2} (x)$ heraus.

$\frac{\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- 8 \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Schritt 3.9.4.3

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- 8 \sec (x))$ heraus.

$\frac{\sec (x) (1 - 8 \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Schritt 3.9.5

Faktorisiere $\tan (x)$ aus $\tan^{2} (x)$ heraus.

$\frac{\sec (x) (1 - 8 \sec (x))}{\tan (x) \tan (x)}$

Schritt 3.9.6

Separiere Brüche.

$\frac{1 - 8 \sec (x)}{\tan (x)} \cdot \frac{\sec (x)}{\tan (x)}$

Schritt 3.9.7

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1 - 8 \sec (x)}{\tan (x)} \cdot \frac{\sec (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Schritt 3.9.8

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1 - 8 \sec (x)}{\tan (x)} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Schritt 3.9.9

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ zu dividieren.

$\frac{1 - 8 \sec (x)}{\tan (x)} (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Schritt 3.9.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.9.10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 - 8 \sec (x)}{\tan (x)} (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Schritt 3.9.10.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 - 8 \sec (x)}{\tan (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Schritt 3.9.11

Wandle von $\frac{1}{\sin (x)}$ nach $\csc (x)$ um.

$\frac{1 - 8 \sec (x)}{\tan (x)} \csc (x)$

Schritt 3.9.12

Kombiniere $\frac{1 - 8 \sec (x)}{\tan (x)}$ und $\csc (x)$ .

$\frac{(1 - 8 \sec (x)) \csc (x)}{\tan (x)}$

Schritt 3.9.13

Separiere Brüche.

$\frac{1 - 8 \sec (x)}{1} \cdot \frac{\csc (x)}{\tan (x)}$

Schritt 3.9.14

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1 - 8 \sec (x)}{1} \cdot \frac{\csc (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Schritt 3.9.15

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1 - 8 \sec (x)}{1} \cdot \frac{\frac{1}{\sin (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Schritt 3.9.16

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ zu dividieren.

$\frac{1 - 8 \sec (x)}{1} (\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Schritt 3.9.17

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.9.17.1

Wandle von $\frac{1}{\sin (x)}$ nach $\csc (x)$ um.

$\frac{1 - 8 \sec (x)}{1} (\csc (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Schritt 3.9.17.2

Wandle von $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ nach $\cot (x)$ um.

$\frac{1 - 8 \sec (x)}{1} (\csc (x) \cot (x))$

Schritt 3.9.18

Dividiere $1 - 8 \sec (x)$ durch $1$ .

$(1 - 8 \sec (x)) (\csc (x) \cot (x))$

Schritt 3.9.19

Wende das Distributivgesetz an.

$1 (\csc (x) \cot (x)) - 8 \sec (x) (\csc (x) \cot (x))$

Schritt 3.9.20

Mutltipliziere $\csc (x) \cot (x)$ mit $1$ .

$\csc (x) \cot (x) - 8 \sec (x) \csc (x) \cot (x)$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \csc (x) \cot (x) - 8 \sec (x) \csc (x) \cot (x)$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \csc (x) \cot (x) - 8 \sec (x) \csc (x) \cot (x)$