Analysis Beispiele

$y = \frac{5}{\cos (x)} + \frac{1}{\tan (x)}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{5}{\cos (x)} + \frac{1}{\tan (x)})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{5}{\cos (x)} + \frac{1}{\tan (x)}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{5}{\cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{\cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{5}{\cos (x)}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{5}{\cos (x)}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

Schritt 3.2.2

Schreibe $\frac{1}{\cos (x)}$ als $\cos^{- 1} (x)$ um.

$5 \frac{d}{d x} [\cos^{- 1} (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

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Schritt 3.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\cos (x)$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

Schritt 3.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

Schritt 3.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $\cos (x)$ .

$5 (- \cos^{- 2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

Schritt 3.2.4

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$5 (- \cos^{- 2} (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

Schritt 3.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$5 (1 \cos^{- 2} (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

Schritt 3.2.6

Mutltipliziere $\cos^{- 2} (x)$ mit $1$ .

$5 \cos^{- 2} (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$ .

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Schritt 3.3.1

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$5 \cos^{- 2} (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}]$

Schritt 3.3.2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ zu dividieren.

$5 \cos^{- 2} (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{\sin (x)}]$

Schritt 3.3.3

Wandle von $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ nach $\cot (x)$ um.

$5 \cos^{- 2} (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Schritt 3.3.4

Die Ableitung von $\cot (x)$ nach $x$ ist $- \csc^{2} (x)$ .

$5 \cos^{- 2} (x) \sin (x) - \csc^{2} (x)$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x) - \csc^{2} (x)$

Schritt 3.4.2

Wandle von $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ nach $\sec^{2} (x)$ um.

$5 \sec^{2} (x) \sin (x) - \csc^{2} (x)$

Schritt 3.4.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.3.1

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$5 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (x) - \csc^{2} (x)$

Schritt 3.4.3.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$5 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x) - \csc^{2} (x)$

Schritt 3.4.3.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$5 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x) - \csc^{2} (x)$

Schritt 3.4.3.4

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{5}{\cos^{2} (x)} \sin (x) - \csc^{2} (x)$

Schritt 3.4.3.5

Kombiniere $\frac{5}{\cos^{2} (x)}$ und $\sin (x)$ .

$\frac{5 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \csc^{2} (x)$

Schritt 3.4.3.6

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{5 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Schritt 3.4.3.7

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\sin (x)}$ an.

$\frac{5 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3.4.3.8

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{5 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3.4.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.4.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos^{2} (x)$ heraus.

$\frac{5 \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3.4.4.2

Separiere Brüche.

$\frac{5}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3.4.4.3

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\frac{5}{\cos (x)} \tan (x) - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3.4.4.4

Separiere Brüche.

$\frac{5}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3.4.4.5

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$\frac{5}{1} \sec (x) \tan (x) - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3.4.4.6

Dividiere $5$ durch $1$ .

$5 \sec (x) \tan (x) - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3.4.4.7

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$5 \sec (x) \tan (x) - \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3.4.4.8

Schreibe $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$ als ${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$ um.

$5 \sec (x) \tan (x) - {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Schritt 3.4.4.9

Wandle von $\frac{1}{\sin (x)}$ nach $\csc (x)$ um.

$5 \sec (x) \tan (x) - \csc^{2} (x)$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 5 \sec (x) \tan (x) - \csc^{2} (x)$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 5 \sec (x) \tan (x) - \csc^{2} (x)$