Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.1.1

Schreibe $\frac{1}{x^{3}}$ als ${(x^{3})}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Schritt 3.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

Schritt 3.1.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 3$ .

$- 3 x^{- 4}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 3.3.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.3.2.1

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- 3}{x^{4}}$

Schritt 3.3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{x^{4}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - \frac{3}{x^{4}}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3}{x^{4}}$