Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{e^{x}}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{e^{x}})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.1.1

Schreibe $\frac{1}{e^{x}}$ als ${(e^{x})}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{(e^{x})}^{- 1}]$

Schritt 3.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{x})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x \cdot - 1}]$

Schritt 3.1.2.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- 1 \cdot x}]$

Schritt 3.1.2.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Schritt 3.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e^{- x} \cdot - 1$

Schritt 3.3.3.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$- 1 \cdot e^{- x}$

Schritt 3.3.3.3

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$- e^{- x}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - e^{- x}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - e^{- x}$