Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{\sqrt{3 - 2 x}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 - 2 x}$ als ${(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{1}{{(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 3

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1.1

Schreibe $\frac{1}{{(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ als ${({(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{({(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Schritt 4.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Schritt 4.1.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(3 - 2 x)}^{\frac{- 1}{2}}]$

Schritt 4.1.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d}{d x} [{(3 - 2 x)}^{- \frac{1}{2}}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ und $g (x) = 3 - 2 x$ .

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Schritt 4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 - 2 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3 - 2 x]$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 - 2 x]$

Schritt 4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 - 2 x$ .

$- \frac{1}{2} {(3 - 2 x)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 - 2 x]$

Schritt 4.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(3 - 2 x)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - 2 x]$

Schritt 4.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(3 - 2 x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - 2 x]$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - 2 x]$

Schritt 4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{1}{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - 2 x]$

Schritt 4.6.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$- \frac{1}{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [3 - 2 x]$

Schritt 4.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{2} {(3 - 2 x)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [3 - 2 x]$

Schritt 4.7.2

Kombiniere ${(3 - 2 x)}^{- \frac{3}{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{{(3 - 2 x)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 - 2 x]$

Schritt 4.7.3

Bringe ${(3 - 2 x)}^{- \frac{3}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [3 - 2 x]$

Schritt 4.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 - 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$- \frac{1}{2 {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Schritt 4.9

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{1}{2 {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Schritt 4.10

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$- \frac{1}{2 {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 4.11

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{2 {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.12

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.12.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$2 \frac{1}{2 {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.12.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2 {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.12.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2 {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.12.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{{(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{{(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 1$

Schritt 4.14

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.14.1

Mutltipliziere $\frac{1}{{(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{{(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.14.2

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{{(- 2 x + 3)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{1}{{(- 2 x + 3)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(- 2 x + 3)}^{\frac{3}{2}}}$