Analysis Beispiele

$y = \frac{(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{3}}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{3}})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)$ und $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)] - (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Schritt 3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)] - (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)] - (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x - 3$ und $g (x) = x^{2} + 3 x + 9$ .

$\frac{x^{3} ((x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 9] + (x^{2} + 3 x + 9) \frac{d}{d x} [x - 3]) - (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.4

Differenziere.

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Schritt 3.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 3 x + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{x^{3} ((x - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} + 3 x + 9) \frac{d}{d x} [x - 3]) - (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x^{3} ((x - 3) (2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} + 3 x + 9) \frac{d}{d x} [x - 3]) - (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.4.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{3} ((x - 3) (2 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} + 3 x + 9) \frac{d}{d x} [x - 3]) - (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x^{3} ((x - 3) (2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} + 3 x + 9) \frac{d}{d x} [x - 3]) - (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.4.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{x^{3} ((x - 3) (2 x + 3 + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} + 3 x + 9) \frac{d}{d x} [x - 3]) - (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.4.6

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{3} ((x - 3) (2 x + 3 + 0) + (x^{2} + 3 x + 9) \frac{d}{d x} [x - 3]) - (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.4.7

Addiere $2 x + 3$ und $0$ .

$\frac{x^{3} ((x - 3) (2 x + 3) + (x^{2} + 3 x + 9) \frac{d}{d x} [x - 3]) - (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.4.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{x^{3} ((x - 3) (2 x + 3) + (x^{2} + 3 x + 9) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])) - (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.4.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x^{3} ((x - 3) (2 x + 3) + (x^{2} + 3 x + 9) (1 + \frac{d}{d x} [- 3])) - (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.4.10

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{3} ((x - 3) (2 x + 3) + (x^{2} + 3 x + 9) (1 + 0)) - (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.4.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.11.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{x^{3} ((x - 3) (2 x + 3) + (x^{2} + 3 x + 9) \cdot 1) - (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.4.11.2

Mutltipliziere $x^{2} + 3 x + 9$ mit $1$ .

$\frac{x^{3} ((x - 3) (2 x + 3) + x^{2} + 3 x + 9) - (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.4.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{x^{3} ((x - 3) (2 x + 3) + x^{2} + 3 x + 9) - (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Schritt 3.4.13

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 3.4.13.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{3} ((x - 3) (2 x + 3) + x^{2} + 3 x + 9) - 3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) x^{2}}{x^{6}}$

Schritt 3.4.13.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3} ((x - 3) (2 x + 3) + x^{2} + 3 x + 9) - 3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) x^{2}$ heraus.

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Schritt 3.4.13.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3} ((x - 3) (2 x + 3) + x^{2} + 3 x + 9)$ heraus.

$\frac{x^{2} (x ((x - 3) (2 x + 3) + x^{2} + 3 x + 9)) - 3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) x^{2}}{x^{6}}$

Schritt 3.4.13.2.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) x^{2}$ heraus.

$\frac{x^{2} (x ((x - 3) (2 x + 3) + x^{2} + 3 x + 9)) + x^{2} (- 3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9))}{x^{6}}$

Schritt 3.4.13.2.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (x ((x - 3) (2 x + 3) + x^{2} + 3 x + 9)) + x^{2} (- 3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9))$ heraus.

$\frac{x^{2} (x ((x - 3) (2 x + 3) + x^{2} + 3 x + 9) - 3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9))}{x^{6}}$

Schritt 3.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{6}$ heraus.

$\frac{x^{2} (x ((x - 3) (2 x + 3) + x^{2} + 3 x + 9) - 3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9))}{x^{2} x^{4}}$

Schritt 3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} (x ((x - 3) (2 x + 3) + x^{2} + 3 x + 9) - 3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9))}{x^{2} x^{4}}$

Schritt 3.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x ((x - 3) (2 x + 3) + x^{2} + 3 x + 9) - 3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{4}}$

Schritt 3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x ((x - 3) (2 x + 3)) + x \cdot x^{2} + x (3 x) + x \cdot 9 - 3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{4}}$

Schritt 3.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x ((x - 3) (2 x + 3)) + x \cdot x^{2} + x (3 x) + x \cdot 9 + (- 3 x - 3 \cdot - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{4}}$

Schritt 3.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.6.3.1.1

Multipliziere $(x - 3) (2 x + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.6.3.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (x (2 x + 3) - 3 (2 x + 3)) + x \cdot x^{2} + x (3 x) + x \cdot 9 + (- 3 x - 3 \cdot - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{4}}$

Schritt 3.6.3.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (x (2 x) + x \cdot 3 - 3 (2 x + 3)) + x \cdot x^{2} + x (3 x) + x \cdot 9 + (- 3 x - 3 \cdot - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{4}}$

Schritt 3.6.3.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (x (2 x) + x \cdot 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot 3) + x \cdot x^{2} + x (3 x) + x \cdot 9 + (- 3 x - 3 \cdot - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{4}}$

Schritt 3.6.3.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.6.3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.6.3.1.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{x (2 x \cdot x + x \cdot 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot 3) + x \cdot x^{2} + x (3 x) + x \cdot 9 + (- 3 x - 3 \cdot - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{4}}$

Schritt 3.6.3.1.2.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.6.3.1.2.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{x (2 (x \cdot x) + x \cdot 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot 3) + x \cdot x^{2} + x (3 x) + x \cdot 9 + (- 3 x - 3 \cdot - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{4}}$

Schritt 3.6.3.1.2.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x (2 x^{2} + x \cdot 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot 3) + x \cdot x^{2} + x (3 x) + x \cdot 9 + (- 3 x - 3 \cdot - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{4}}$

Schritt 3.6.3.1.2.1.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{x (2 x^{2} + 3 \cdot x - 3 (2 x) - 3 \cdot 3) + x \cdot x^{2} + x (3 x) + x \cdot 9 + (- 3 x - 3 \cdot - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{4}}$

Schritt 3.6.3.1.2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$\frac{x (2 x^{2} + 3 x - 6 x - 3 \cdot 3) + x \cdot x^{2} + x (3 x) + x \cdot 9 + (- 3 x - 3 \cdot - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{4}}$

Schritt 3.6.3.1.2.1.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$\frac{x (2 x^{2} + 3 x - 6 x - 9) + x \cdot x^{2} + x (3 x) + x \cdot 9 + (- 3 x - 3 \cdot - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{4}}$

Schritt 3.6.3.1.2.2

Subtrahiere $6 x$ von $3 x$ .

$\frac{x (2 x^{2} - 3 x - 9) + x \cdot x^{2} + x (3 x) + x \cdot 9 + (- 3 x - 3 \cdot - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{4}}$

Schritt 3.6.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (2 x^{2}) + x (- 3 x) + x \cdot - 9 + x \cdot x^{2} + x (3 x) + x \cdot 9 + (- 3 x - 3 \cdot - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{4}}$

Schritt 3.6.3.1.4

Vereinfache.

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Schritt 3.6.3.1.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x \cdot x^{2} + x (- 3 x) + x \cdot - 9 + x \cdot x^{2} + x (3 x) + x \cdot 9 + (- 3 x - 3 \cdot - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{4}}$

Schritt 3.6.3.1.4.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x \cdot x^{2} - 3 x \cdot x + x \cdot - 9 + x \cdot x^{2} + x (3 x) + x \cdot 9 + (- 3 x - 3 \cdot - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{4}}$

Schritt 3.6.3.1.4.3

Bringe $- 9$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{2 x \cdot x^{2} - 3 x \cdot x - 9 \cdot x + x \cdot x^{2} + x (3 x) + x \cdot 9 + (- 3 x - 3 \cdot - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{4}}$

Schritt 3.6.3.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.6.3.1.5.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.6.3.1.5.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} x) - 3 x \cdot x - 9 \cdot x + x \cdot x^{2} + x (3 x) + x \cdot 9 + (- 3 x - 3 \cdot - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{4}}$

Schritt 3.6.3.1.5.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 3.6.3.1.5.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{2} x^{1}) - 3 x \cdot x - 9 \cdot x + x \cdot x^{2} + x (3 x) + x \cdot 9 + (- 3 x - 3 \cdot - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{4}}$

Schritt 3.6.3.1.5.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{2 + 1} - 3 x \cdot x - 9 \cdot x + x \cdot x^{2} + x (3 x) + x \cdot 9 + (- 3 x - 3 \cdot - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{4}}$

Schritt 3.6.3.1.5.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 3 x \cdot x - 9 \cdot x + x \cdot x^{2} + x (3 x) + x \cdot 9 + (- 3 x - 3 \cdot - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{4}}$

Schritt 3.6.3.1.5.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.6.3.1.5.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 3 (x \cdot x) - 9 \cdot x + x \cdot x^{2} + x (3 x) + x \cdot 9 + (- 3 x - 3 \cdot - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{4}}$

Schritt 3.6.3.1.5.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 9 \cdot x + x \cdot x^{2} + x (3 x) + x \cdot 9 + (- 3 x - 3 \cdot - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{4}}$

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + x \cdot x^{2} + x (3 x) + x \cdot 9 + (- 3 x - 3 \cdot - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{4}}$

Schritt 3.6.3.1.6

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.6.3.1.6.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.6.3.1.6.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + x^{1} x^{2} + x (3 x) + x \cdot 9 + (- 3 x - 3 \cdot - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{4}}$

Schritt 3.6.3.1.6.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + x^{1 + 2} + x (3 x) + x \cdot 9 + (- 3 x - 3 \cdot - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{4}}$

Schritt 3.6.3.1.6.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + x^{3} + x (3 x) + x \cdot 9 + (- 3 x - 3 \cdot - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{4}}$

Schritt 3.6.3.1.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + x^{3} + 3 x \cdot x + x \cdot 9 + (- 3 x - 3 \cdot - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{4}}$

Schritt 3.6.3.1.8

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.6.3.1.8.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + x^{3} + 3 (x \cdot x) + x \cdot 9 + (- 3 x - 3 \cdot - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{4}}$

Schritt 3.6.3.1.8.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + x^{3} + 3 x^{2} + x \cdot 9 + (- 3 x - 3 \cdot - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{4}}$

Schritt 3.6.3.1.9

Bringe $9$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + x^{3} + 3 x^{2} + 9 \cdot x + (- 3 x - 3 \cdot - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{4}}$

Schritt 3.6.3.1.10

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + x^{3} + 3 x^{2} + 9 x + (- 3 x + 9) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{4}}$

Schritt 3.6.3.1.11

Multipliziere $(- 3 x + 9) (x^{2} + 3 x + 9)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + x^{3} + 3 x^{2} + 9 x - 3 x \cdot x^{2} - 3 x (3 x) - 3 x \cdot 9 + 9 x^{2} + 9 (3 x) + 9 \cdot 9}{x^{4}}$

Schritt 3.6.3.1.12

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 3 x \cdot x^{2} - 3 x (3 x) - 3 x \cdot 9 + 9 x^{2} + 9 (3 x) + 9 \cdot 9$ .

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Schritt 3.6.3.1.12.1

Ordne die Faktoren in den Termen $- 3 x \cdot 9$ und $9 (3 x)$ neu an.

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + x^{3} + 3 x^{2} + 9 x - 3 x \cdot x^{2} - 3 x (3 x) - 3 \cdot 9 x + 9 x^{2} + 3 \cdot 9 x + 9 \cdot 9}{x^{4}}$

Schritt 3.6.3.1.12.2

Addiere $- 3 \cdot 9 x$ und $3 \cdot 9 x$ .

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + x^{3} + 3 x^{2} + 9 x - 3 x \cdot x^{2} - 3 x (3 x) + 9 x^{2} + 0 + 9 \cdot 9}{x^{4}}$

Schritt 3.6.3.1.12.3

Addiere $- 3 x \cdot x^{2} - 3 x (3 x) + 9 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + x^{3} + 3 x^{2} + 9 x - 3 x \cdot x^{2} - 3 x (3 x) + 9 x^{2} + 9 \cdot 9}{x^{4}}$

Schritt 3.6.3.1.13

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.6.3.1.13.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.6.3.1.13.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + x^{3} + 3 x^{2} + 9 x - 3 (x^{2} x) - 3 x (3 x) + 9 x^{2} + 9 \cdot 9}{x^{4}}$

Schritt 3.6.3.1.13.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 3.6.3.1.13.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + x^{3} + 3 x^{2} + 9 x - 3 (x^{2} x^{1}) - 3 x (3 x) + 9 x^{2} + 9 \cdot 9}{x^{4}}$

Schritt 3.6.3.1.13.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + x^{3} + 3 x^{2} + 9 x - 3 x^{2 + 1} - 3 x (3 x) + 9 x^{2} + 9 \cdot 9}{x^{4}}$

Schritt 3.6.3.1.13.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + x^{3} + 3 x^{2} + 9 x - 3 x^{3} - 3 x (3 x) + 9 x^{2} + 9 \cdot 9}{x^{4}}$

Schritt 3.6.3.1.13.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + x^{3} + 3 x^{2} + 9 x - 3 x^{3} - 3 \cdot 3 x \cdot x + 9 x^{2} + 9 \cdot 9}{x^{4}}$

Schritt 3.6.3.1.13.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.6.3.1.13.3.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + x^{3} + 3 x^{2} + 9 x - 3 x^{3} - 3 \cdot 3 (x \cdot x) + 9 x^{2} + 9 \cdot 9}{x^{4}}$

Schritt 3.6.3.1.13.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + x^{3} + 3 x^{2} + 9 x - 3 x^{3} - 3 \cdot 3 x^{2} + 9 x^{2} + 9 \cdot 9}{x^{4}}$

Schritt 3.6.3.1.13.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + x^{3} + 3 x^{2} + 9 x - 3 x^{3} - 9 x^{2} + 9 x^{2} + 9 \cdot 9}{x^{4}}$

Schritt 3.6.3.1.13.5

Mutltipliziere $9$ mit $9$ .

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + x^{3} + 3 x^{2} + 9 x - 3 x^{3} - 9 x^{2} + 9 x^{2} + 81}{x^{4}}$

Schritt 3.6.3.1.14

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 3 x^{3} - 9 x^{2} + 9 x^{2} + 81$ .

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Schritt 3.6.3.1.14.1

Addiere $- 9 x^{2}$ und $9 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + x^{3} + 3 x^{2} + 9 x - 3 x^{3} + 0 + 81}{x^{4}}$

Schritt 3.6.3.1.14.2

Addiere $- 3 x^{3}$ und $0$ .

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + x^{3} + 3 x^{2} + 9 x - 3 x^{3} + 81}{x^{4}}$

Schritt 3.6.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + x^{3} + 3 x^{2} + 9 x - 3 x^{3} + 81$ .

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Schritt 3.6.3.2.1

Addiere $- 3 x^{2}$ und $3 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} - 9 x + x^{3} + 0 + 9 x - 3 x^{3} + 81}{x^{4}}$

Schritt 3.6.3.2.2

Addiere $2 x^{3} - 9 x + x^{3}$ und $0$ .

$\frac{2 x^{3} - 9 x + x^{3} + 9 x - 3 x^{3} + 81}{x^{4}}$

Schritt 3.6.3.2.3

Addiere $- 9 x$ und $9 x$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{3} + 0 - 3 x^{3} + 81}{x^{4}}$

Schritt 3.6.3.2.4

Addiere $2 x^{3} + x^{3}$ und $0$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{3} - 3 x^{3} + 81}{x^{4}}$

Schritt 3.6.3.3

Addiere $2 x^{3}$ und $x^{3}$ .

$\frac{3 x^{3} - 3 x^{3} + 81}{x^{4}}$

Schritt 3.6.3.4

Subtrahiere $3 x^{3}$ von $3 x^{3}$ .

$\frac{0 + 81}{x^{4}}$

Schritt 3.6.3.5

Addiere $0$ und $81$ .

$\frac{81}{x^{4}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{81}{x^{4}}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{81}{x^{4}}$