Analysis Beispiele

$\sin (x + y) = 6 x - 6 y$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\sin (x + y)) = \frac{d}{d x} (6 x - 6 y)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = x + y$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x + y]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x + y$ .

$\cos (x + y) \frac{d}{d x} [x + y]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\cos (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\cos (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\cos (x + y) (1 + y')$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x - 6 y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6 y]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6 y]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 y]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6 y]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [- 6 y]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 y]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 y$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [y]$ .

$6 - 6 \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$6 - 6 y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\cos (x + y) (1 + y') = 6 - 6 y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Vereinfache $\cos (x + y) (1 + y')$ .

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Schritt 5.1.1.1

Forme um.

$0 + 0 + \cos (x + y) (1 + y') = 6 - 6 y'$

Schritt 5.1.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$\cos (x + y) (1 + y') = 6 - 6 y'$

Schritt 5.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (x + y) \cdot 1 + \cos (x + y) y' = 6 - 6 y'$

Schritt 5.1.1.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1.1.4.1

Mutltipliziere $\cos (x + y)$ mit $1$ .

$\cos (x + y) + \cos (x + y) y' = 6 - 6 y'$

Schritt 5.1.1.4.2

Stelle die Faktoren in $\cos (x + y) + \cos (x + y) y'$ um.

$\cos (x + y) + y' \cos (x + y) = 6 - 6 y'$

Schritt 5.2

Addiere $6 y'$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (x + y) + y' \cos (x + y) + 6 y' = 6$

Schritt 5.3

Subtrahiere $\cos (x + y)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y' \cos (x + y) + 6 y' = 6 - \cos (x + y)$

Schritt 5.4

Faktorisiere $y'$ aus $y' \cos (x + y) + 6 y'$ heraus.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $y'$ aus $y' \cos (x + y)$ heraus.

$y' (\cos (x + y)) + 6 y' = 6 - \cos (x + y)$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $y'$ aus $6 y'$ heraus.

$y' (\cos (x + y)) + y' \cdot 6 = 6 - \cos (x + y)$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (\cos (x + y)) + y' \cdot 6$ heraus.

$y' (\cos (x + y) + 6) = 6 - \cos (x + y)$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $y' (\cos (x + y) + 6) = 6 - \cos (x + y)$ durch $\cos (x + y) + 6$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (\cos (x + y) + 6) = 6 - \cos (x + y)$ durch $\cos (x + y) + 6$ .

$\frac{y' (\cos (x + y) + 6)}{\cos (x + y) + 6} = \frac{6}{\cos (x + y) + 6} + \frac{- \cos (x + y)}{\cos (x + y) + 6}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x + y) + 6$ .

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Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (\cos (x + y) + 6)}{\cos (x + y) + 6} = \frac{6}{\cos (x + y) + 6} + \frac{- \cos (x + y)}{\cos (x + y) + 6}$

Schritt 5.5.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{6}{\cos (x + y) + 6} + \frac{- \cos (x + y)}{\cos (x + y) + 6}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{6}{\cos (x + y) + 6} - \frac{\cos (x + y)}{\cos (x + y) + 6}$

Schritt 5.5.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{6 - \cos (x + y)}{\cos (x + y) + 6}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 - \cos (x + y)}{\cos (x + y) + 6}$