Analysis Beispiele

$x \sqrt{y + 1} = x y + 1$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y + 1}$ als ${(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} = x y + 1$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (x y + 1)$

Schritt 3

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(y + 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = y + 1$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y + 1$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y + 1]) + {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y + 1]) + {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y + 1$ .

$x (\frac{1}{2} {(y + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y + 1]) + {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(y + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [y + 1]) + {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(y + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y + 1]) + {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x (\frac{1}{2} {(y + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y + 1]) + {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(y + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [y + 1]) + {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(y + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [y + 1]) + {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x (\frac{1}{2} {(y + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y + 1]) + {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(y + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(y + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [y + 1]) + {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.7.3

Bringe ${(y + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y + 1]) + {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.7.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{x}{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y + 1] + {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x}{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]) + {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.9

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{x}{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}} (y' + \frac{d}{d x} [1]) + {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.10

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x}{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}} (y' + 0) + {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.11

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.11.1

Addiere $y'$ und $0$ .

$\frac{x}{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}} y' + {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.11.2

Kombiniere $\frac{x}{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ und $y'$ .

$\frac{x y'}{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x y'}{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Schritt 3.13

Mutltipliziere ${(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$\frac{x y'}{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.14

Um ${(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x y'}{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.15

Kombiniere ${(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x y'}{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(y + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.16

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x y' + {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.17

Multipliziere ${(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.17.1

Bewege ${(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x y' + {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.17.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x y' + {(y + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.17.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x y' + {(y + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.17.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x y' + {(y + 1)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.17.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{x y' + {(y + 1)}^{1} \cdot 2}{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.18

Vereinfache ${(y + 1)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{x y' + (y + 1) \cdot 2}{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.19

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y + 1$ .

$\frac{x y' + 2 \cdot (y + 1)}{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.20

Vereinfache.

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Schritt 3.20.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x y' + 2 y + 2 \cdot 1}{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.20.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{x y' + 2 y + 2}{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x y + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Schritt 4.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.2.4

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$x y' + y + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.3.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x y' + y + 0$

Schritt 4.3.2

Addiere $x y' + y$ und $0$ .

$x y' + y$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\frac{x y' + 2 y + 2}{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}} = x y' + y$

Schritt 6

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 6.1

Multipliziere beide Seiten mit $2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x y' + 2 y + 2}{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}) = (x y' + y) (2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1.1

Vereinfache $\frac{x y' + 2 y + 2}{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})$ .

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Schritt 6.2.1.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \frac{x y' + 2 y + 2}{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}} {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} = (x y' + y) (2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x y' + 2 y + 2}{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}} {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} = (x y' + y) (2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x y' + 2 y + 2}{{(y + 1)}^{\frac{1}{2}}} {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} = (x y' + y) (2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 6.2.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y' + 2 y + 2}{{(y + 1)}^{\frac{1}{2}}} {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} = (x y' + y) (2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.2.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x y' + 2 y + 2 = (x y' + y) (2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.2.1.1.4

Stelle $x$ und $y'$ um.

$y' x + 2 y + 2 = (x y' + y) (2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinfache $(x y' + y) (2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y' x + 2 y + 2 = x y' (2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}) + y (2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.2.2.1.2

Stelle um.

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Schritt 6.2.2.1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y' x + 2 y + 2 = 2 x y' {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} + y (2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.2.2.1.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y' x + 2 y + 2 = 2 x y' {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} + 2 y {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.2.2.1.2.3

Bewege $x$ .

$y' x + 2 y + 2 = 2 y' x {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} + 2 y {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.3

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 6.3.1

Subtrahiere $2 y' x {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y' x + 2 y + 2 - 2 y' x {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} = 2 y {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.2.1

Subtrahiere $2 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y' x + 2 - 2 y' x {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} = 2 y {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 y$

Schritt 6.3.2.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y' x - 2 y' x {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} = 2 y {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 y - 2$

Schritt 6.3.3

Faktorisiere $y' x$ aus $y' x - 2 y' x {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

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Schritt 6.3.3.1

Faktorisiere $y' x$ aus $y' x$ heraus.

$y' x \cdot 1 - 2 y' x {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} = 2 y {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 y - 2$

Schritt 6.3.3.2

Faktorisiere $y' x$ aus $- 2 y' x {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$y' x \cdot 1 + y' x (- 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}) = 2 y {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 y - 2$

Schritt 6.3.3.3

Faktorisiere $y' x$ aus $y' x \cdot 1 + y' x (- 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})$ heraus.

$y' x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}) = 2 y {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 y - 2$

Schritt 6.3.4

Teile jeden Ausdruck in $y' x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}) = 2 y {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 y - 2$ durch $x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}) = 2 y {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 y - 2$ durch $x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{y' x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}{x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})} = \frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})} + \frac{- 2 y}{x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})} + \frac{- 2}{x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 6.3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 6.3.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}{1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})} + \frac{- 2 y}{x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})} + \frac{- 2}{x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 6.3.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 6.3.4.2.4

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})} + \frac{- 2 y}{x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})} + \frac{- 2}{x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 6.3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.4.3.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.3.4.3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.4.3.1.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})} - \frac{2 y}{x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})} + \frac{- 2}{x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 6.3.4.3.1.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})} - \frac{2 y}{x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})} - \frac{2}{x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 6.3.4.3.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.3.4.3.1.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 y}{x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})} - \frac{2}{x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 6.3.4.3.1.2.2

Faktorisiere $2 y$ aus $2 y {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 y$ heraus.

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Schritt 6.3.4.3.1.2.2.1

Faktorisiere $2 y$ aus $2 y {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$y' = \frac{2 y ({(y + 1)}^{\frac{1}{2}}) - 2 y}{x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})} - \frac{2}{x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 6.3.4.3.1.2.2.2

Faktorisiere $2 y$ aus $- 2 y$ heraus.

$y' = \frac{2 y ({(y + 1)}^{\frac{1}{2}}) + 2 y (- 1)}{x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})} - \frac{2}{x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 6.3.4.3.1.2.2.3

Faktorisiere $2 y$ aus $2 y ({(y + 1)}^{\frac{1}{2}}) + 2 y (- 1)$ heraus.

$y' = \frac{2 y ({(y + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})} - \frac{2}{x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 6.3.4.3.1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{2 y ({(y + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) - 2}{x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 6.3.4.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.4.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y ({(y + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) - 2$ heraus.

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Schritt 6.3.4.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y ({(y + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1)$ heraus.

$y' = \frac{2 (y ({(y + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1)) - 2}{x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 6.3.4.3.2.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$y' = \frac{2 (y ({(y + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1)) + 2 (- 1)}{x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 6.3.4.3.2.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (y ({(y + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1)) + 2 (- 1)$ heraus.

$y' = \frac{2 (y ({(y + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) - 1)}{x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 6.3.4.3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y' = \frac{2 (y {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} + y \cdot - 1 - 1)}{x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 6.3.4.3.2.3

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $y$ .

$y' = \frac{2 (y {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot y - 1)}{x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 6.3.4.3.2.4

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

$y' = \frac{2 (y {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} - y - 1)}{x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 7

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (y {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} - y - 1)}{x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}$