Analysis Beispiele

$\ln (x y) = e^{2 x}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\ln (x y)) = \frac{d}{d x} (e^{2 x})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x y$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x y$ .

$\frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$\frac{1}{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{1}{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y \cdot 1)$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y)$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{x y} (x y') + \frac{1}{x y} y$

Schritt 2.6.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.6.2.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{x}{x y} y' + \frac{1}{x y} y$

Schritt 2.6.2.2

Kombiniere $\frac{x}{x y}$ und $y'$ .

$\frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y$

Schritt 2.6.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.6.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y$

Schritt 2.6.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x y} y$

Schritt 2.6.2.4

Kombiniere $\frac{1}{x y}$ und $y$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{y}{x y}$

Schritt 2.6.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 2.6.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y'}{y} + \frac{y}{x y}$

Schritt 2.6.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x}$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Schritt 3.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2$

Schritt 3.2.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = 2 e^{2 x}$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $\frac{1}{x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y'}{y} = 2 e^{2 x} - \frac{1}{x}$

Schritt 5.2

Multipliziere beide Seiten mit $y$ .

$\frac{y'}{y} y = (2 e^{2 x} - \frac{1}{x}) y$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y'}{y} y = (2 e^{2 x} - \frac{1}{x}) y$

Schritt 5.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = (2 e^{2 x} - \frac{1}{x}) y$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Vereinfache $(2 e^{2 x} - \frac{1}{x}) y$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y' = 2 e^{2 x} y - \frac{1}{x} y$

Schritt 5.3.2.1.2

Kombiniere $y$ und $\frac{1}{x}$ .

$y' = 2 e^{2 x} y - \frac{y}{x}$

Schritt 5.3.2.1.3

Stelle die Faktoren in $2 e^{2 x} y - \frac{y}{x}$ um.

$y' = 2 y e^{2 x} - \frac{y}{x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 y e^{2 x} - \frac{y}{x}$