Analysis Beispiele

$\ln (x y) + 8 x = 45$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\ln (x y) + 8 x) = \frac{d}{d x} (45)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\ln (x y) + 8 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\ln (x y)] + \frac{d}{d x} [8 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x y)] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\ln (x y)]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Schritt 2.2.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Schritt 2.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x y$ .

$\frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$\frac{1}{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [8 x]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{1}{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [8 x]$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [8 x]$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y) + \frac{d}{d x} [8 x]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y) + 8 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y) + 8 \cdot 1$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y) + 8$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{x y} (x y') + \frac{1}{x y} y + 8$

Schritt 2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.2.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{x}{x y} y' + \frac{1}{x y} y + 8$

Schritt 2.4.2.2

Kombiniere $\frac{x}{x y}$ und $y'$ .

$\frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y + 8$

Schritt 2.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y + 8$

Schritt 2.4.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x y} y + 8$

Schritt 2.4.2.4

Kombiniere $\frac{1}{x y}$ und $y$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{y}{x y} + 8$

Schritt 2.4.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 2.4.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y'}{y} + \frac{y}{x y} + 8$

Schritt 2.4.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} + 8$

Schritt 3

Da $45$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $45$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} + 8 = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Subtrahiere $\frac{1}{x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y'}{y} + 8 = - \frac{1}{x}$

Schritt 5.1.2

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y'}{y} = - \frac{1}{x} - 8$

Schritt 5.2

Multipliziere beide Seiten mit $y$ .

$\frac{y'}{y} y = (- \frac{1}{x} - 8) y$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y'}{y} y = (- \frac{1}{x} - 8) y$

Schritt 5.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = (- \frac{1}{x} - 8) y$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Vereinfache $(- \frac{1}{x} - 8) y$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y' = - \frac{1}{x} y - 8 y$

Schritt 5.3.2.1.2

Kombiniere $y$ und $\frac{1}{x}$ .

$y' = - \frac{y}{x} - 8 y$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x} - 8 y$