Analysis Beispiele

$x \sin (y) + \cos (2 y) = \cos (y)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x \sin (y) + \cos (2 y)) = \frac{d}{d x} (\cos (y))$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x \sin (y) + \cos (2 y)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x \sin (y)] + \frac{d}{d x} [\cos (2 y)]$ .

$\frac{d}{d x} [x \sin (y)] + \frac{d}{d x} [\cos (2 y)]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x \sin (y)]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \sin (y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\sin (y)] + \sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 y)]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $y$ .

$x (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 y)]$

Schritt 2.2.2.2

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$x (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 y)]$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $y$ .

$x (\cos (y) \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 y)]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x (\cos (y) y') + \sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 y)]$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (\cos (y) y') + \sin (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\cos (2 y)]$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $\sin (y)$ mit $1$ .

$x \cos (y) y' + \sin (y) + \frac{d}{d x} [\cos (2 y)]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\cos (2 y)]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 2 y$ .

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Schritt 2.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 y$ .

$x \cos (y) y' + \sin (y) + \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.3.1.2

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$x \cos (y) y' + \sin (y) - \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.3.1.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 y$ .

$x \cos (y) y' + \sin (y) - \sin (2 y) \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$x \cos (y) y' + \sin (y) - \sin (2 y) (2 \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x \cos (y) y' + \sin (y) - \sin (2 y) (2 y')$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x \cos (y) y' + \sin (y) - 2 \sin (2 y) y'$

Schritt 2.4

Stelle die Terme um.

$x \cos (y) y' - 2 \sin (2 y) y' + \sin (y)$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- \sin (y) y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$x \cos (y) y' - 2 \sin (2 y) y' + \sin (y) = - \sin (y) y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Stelle die Faktoren in $x \cos (y) y' - 2 \sin (2 y) y' + \sin (y)$ um.

$x y' \cos (y) - 2 y' \sin (2 y) + \sin (y) = - \sin (y) y'$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Stelle die Faktoren in $- \sin (y) y'$ um.

$x y' \cos (y) - 2 y' \sin (2 y) + \sin (y) = - y' \sin (y)$

Schritt 5.3

Addiere $y' \sin (y)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x y' \cos (y) - 2 y' \sin (2 y) + \sin (y) + y' \sin (y) = 0$

Schritt 5.4

Subtrahiere $\sin (y)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y' \cos (y) - 2 y' \sin (2 y) + y' \sin (y) = - \sin (y)$

Schritt 5.5

Faktorisiere $y'$ aus $x y' \cos (y) - 2 y' \sin (2 y) + y' \sin (y)$ heraus.

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Schritt 5.5.1

Faktorisiere $y'$ aus $x y' \cos (y)$ heraus.

$y' (x \cos (y)) - 2 y' \sin (2 y) + y' (\sin (y)) = - \sin (y)$

Schritt 5.5.2

Faktorisiere $y'$ aus $- 2 y' \sin (2 y)$ heraus.

$y' (x \cos (y)) + y' (- 2 \sin (2 y)) + y' (\sin (y)) = - \sin (y)$

Schritt 5.5.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' \sin (y)$ heraus.

$y' (x \cos (y)) + y' (- 2 \sin (2 y)) + y' (\sin (y)) = - \sin (y)$

Schritt 5.5.4

Faktorisiere $y'$ aus $y' (x \cos (y)) + y' (- 2 \sin (2 y))$ heraus.

$y' (x \cos (y) - 2 \sin (2 y)) + y' (\sin (y)) = - \sin (y)$

Schritt 5.5.5

Faktorisiere $y'$ aus $y' (x \cos (y) - 2 \sin (2 y)) + y' (\sin (y))$ heraus.

$y' (x \cos (y) - 2 \sin (2 y) + \sin (y)) = - \sin (y)$

Schritt 5.6

Teile jeden Ausdruck in $y' (x \cos (y) - 2 \sin (2 y) + \sin (y)) = - \sin (y)$ durch $x \cos (y) - 2 \sin (2 y) + \sin (y)$ und vereinfache.

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Schritt 5.6.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (x \cos (y) - 2 \sin (2 y) + \sin (y)) = - \sin (y)$ durch $x \cos (y) - 2 \sin (2 y) + \sin (y)$ .

$\frac{y' (x \cos (y) - 2 \sin (2 y) + \sin (y))}{x \cos (y) - 2 \sin (2 y) + \sin (y)} = \frac{- \sin (y)}{x \cos (y) - 2 \sin (2 y) + \sin (y)}$

Schritt 5.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x \cos (y) - 2 \sin (2 y) + \sin (y)$ .

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Schritt 5.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (x \cos (y) - 2 \sin (2 y) + \sin (y))}{x \cos (y) - 2 \sin (2 y) + \sin (y)} = \frac{- \sin (y)}{x \cos (y) - 2 \sin (2 y) + \sin (y)}$

Schritt 5.6.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- \sin (y)}{x \cos (y) - 2 \sin (2 y) + \sin (y)}$

Schritt 5.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.6.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{\sin (y)}{x \cos (y) - 2 \sin (2 y) + \sin (y)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\sin (y)}{x \cos (y) - 2 \sin (2 y) + \sin (y)}$