Analysis Beispiele

$x \ln (y) + 2 y = 2 x^{3}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x \ln (y) + 2 y) = \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x \ln (y) + 2 y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x \ln (y)] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x \ln (y)] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x \ln (y)]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \ln (y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (y)] + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.2.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]) + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$x (\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]) + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x (\frac{1}{y} y') + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (\frac{1}{y} y') + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.2.5

Kombiniere $\frac{1}{y}$ und $y'$ .

$x \frac{y'}{y} + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.2.6

Kombiniere $x$ und $\frac{y'}{y}$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.2.7

Mutltipliziere $\ln (y)$ mit $1$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 y]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + 2 \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + 2 y'$

Schritt 2.4

Stelle die Terme um.

$2 y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y)$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{3}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$2 (3 x^{2})$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 x^{2}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y) = 6 x^{2}$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, y, 1, 1$

Schritt 5.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y$

Schritt 5.2

Multipliziere jeden Term in $2 y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y) = 6 x^{2}$ mit $y$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.2.1

Multipliziere jeden Term in $2 y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y) = 6 x^{2}$ mit $y$ .

$2 y' y + \frac{x y'}{y} y + \ln (y) y = 6 x^{2} y$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 y' y + \frac{x y'}{y} y + \ln (y) y = 6 x^{2} y$

Schritt 5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 y' y + x y' + \ln (y) y = 6 x^{2} y$

Schritt 5.2.2.2

Stelle die Faktoren in $2 y' y + x y' + \ln (y) y$ um.

$2 y' y + x y' + y \ln (y) = 6 x^{2} y$

Schritt 5.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Subtrahiere $y \ln (y)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y' y + x y' = 6 x^{2} y - y \ln (y)$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $2 y' y + x y'$ heraus.

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Schritt 5.3.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $2 y' y$ heraus.

$y' (2 y) + x (y') = 6 x^{2} y - y \ln (y)$

Schritt 5.3.2.2

Faktorisiere $y'$ aus $x y'$ heraus.

$y' (2 y) + y' (x) = 6 x^{2} y - y \ln (y)$

Schritt 5.3.2.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (2 y) + y' (x)$ heraus.

$y' (2 y + x) = 6 x^{2} y - y \ln (y)$

Schritt 5.3.3

Teile jeden Ausdruck in $y' (2 y + x) = 6 x^{2} y - y \ln (y)$ durch $2 y + x$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (2 y + x) = 6 x^{2} y - y \ln (y)$ durch $2 y + x$ .

$\frac{y' (2 y + x)}{2 y + x} = \frac{6 x^{2} y}{2 y + x} + \frac{- y \ln (y)}{2 y + x}$

Schritt 5.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 y + x$ .

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Schritt 5.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (2 y + x)}{2 y + x} = \frac{6 x^{2} y}{2 y + x} + \frac{- y \ln (y)}{2 y + x}$

Schritt 5.3.3.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{6 x^{2} y}{2 y + x} + \frac{- y \ln (y)}{2 y + x}$

Schritt 5.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{6 x^{2} y - y \ln (y)}{2 y + x}$

Schritt 5.3.3.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.3.2.1

Faktorisiere $y$ aus $6 x^{2} y - y \ln (y)$ heraus.

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Schritt 5.3.3.3.2.1.1

Faktorisiere $y$ aus $6 x^{2} y$ heraus.

$y' = \frac{y (6 x^{2}) - y \ln (y)}{2 y + x}$

Schritt 5.3.3.3.2.1.2

Faktorisiere $y$ aus $- y \ln (y)$ heraus.

$y' = \frac{y (6 x^{2}) + y (- 1 \ln (y))}{2 y + x}$

Schritt 5.3.3.3.2.1.3

Faktorisiere $y$ aus $y (6 x^{2}) + y (- 1 \ln (y))$ heraus.

$y' = \frac{y (6 x^{2} - 1 \ln (y))}{2 y + x}$

Schritt 5.3.3.3.2.2

Schreibe $- 1 \ln (y)$ als $- \ln (y)$ um.

$y' = \frac{y (6 x^{2} - \ln (y))}{2 y + x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (6 x^{2} - \ln (y))}{2 y + x}$