Analysis Beispiele

$x y = e^{x y - 1}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x y) = \frac{d}{d x} (e^{x y - 1})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$x y' + y$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x y - 1$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x y - 1$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x y - 1]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x y - 1]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x y - 1$ .

$e^{x y - 1} \frac{d}{d x} [x y - 1]$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x y - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$e^{x y - 1} (\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$e^{x y - 1} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 3.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$e^{x y - 1} (x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{x y - 1} (x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$e^{x y - 1} (x y' + y + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 3.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$e^{x y - 1} (x y' + y + 0)$

Schritt 3.8

Addiere $x y' + y$ und $0$ .

$e^{x y - 1} (x y' + y)$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$x y' + y = e^{x y - 1} (x y' + y)$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache $e^{x y - 1} (x y' + y)$ .

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Schritt 5.1.1

Forme um.

$x y' + y = 0 + 0 + e^{x y - 1} (x y' + y)$

Schritt 5.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$x y' + y = e^{x y - 1} (x y' + y)$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x y' + y = e^{x y - 1} (x y') + e^{x y - 1} y$

Schritt 5.1.4

Stelle die Faktoren in $e^{x y - 1} (x y') + e^{x y - 1} y$ um.

$x y' + y = x y' e^{x y - 1} + y e^{x y - 1}$

Schritt 5.2

Subtrahiere $x y' e^{x y - 1}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y' + y - x y' e^{x y - 1} = y e^{x y - 1}$

Schritt 5.3

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y' - x y' e^{x y - 1} = y e^{x y - 1} - y$

Schritt 5.4

Faktorisiere $x y'$ aus $x y' - x y' e^{x y - 1}$ heraus.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $x y'$ aus $x y'$ heraus.

$x y' \cdot 1 - x y' e^{x y - 1} = y e^{x y - 1} - y$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $x y'$ aus $- x y' e^{x y - 1}$ heraus.

$x y' \cdot 1 + x y' (- 1 e^{x y - 1}) = y e^{x y - 1} - y$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $x y'$ aus $x y' \cdot 1 + x y' (- 1 e^{x y - 1})$ heraus.

$x y' (1 - 1 e^{x y - 1}) = y e^{x y - 1} - y$

Schritt 5.5

Schreibe $- 1 e^{x y - 1}$ als $- e^{x y - 1}$ um.

$x y' (1 - e^{x y - 1}) = y e^{x y - 1} - y$

Schritt 5.6

Teile jeden Ausdruck in $x y' (1 - e^{x y - 1}) = y e^{x y - 1} - y$ durch $x (1 - e^{x y - 1})$ und vereinfache.

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Schritt 5.6.1

Teile jeden Ausdruck in $x y' (1 - e^{x y - 1}) = y e^{x y - 1} - y$ durch $x (1 - e^{x y - 1})$ .

$\frac{x y' (1 - e^{x y - 1})}{x (1 - e^{x y - 1})} = \frac{y e^{x y - 1}}{x (1 - e^{x y - 1})} + \frac{- y}{x (1 - e^{x y - 1})}$

Schritt 5.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y' (1 - e^{x y - 1})}{x (1 - e^{x y - 1})} = \frac{y e^{x y - 1}}{x (1 - e^{x y - 1})} + \frac{- y}{x (1 - e^{x y - 1})}$

Schritt 5.6.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (1 - e^{x y - 1})}{1 - e^{x y - 1}} = \frac{y e^{x y - 1}}{x (1 - e^{x y - 1})} + \frac{- y}{x (1 - e^{x y - 1})}$

Schritt 5.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - e^{x y - 1}$ .

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Schritt 5.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (1 - e^{x y - 1})}{1 - e^{x y - 1}} = \frac{y e^{x y - 1}}{x (1 - e^{x y - 1})} + \frac{- y}{x (1 - e^{x y - 1})}$

Schritt 5.6.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{y e^{x y - 1}}{x (1 - e^{x y - 1})} + \frac{- y}{x (1 - e^{x y - 1})}$

Schritt 5.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.6.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{y e^{x y - 1} - y}{x (1 - e^{x y - 1})}$

Schritt 5.6.3.2

Faktorisiere $y$ aus $y e^{x y - 1} - y$ heraus.

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Schritt 5.6.3.2.1

Faktorisiere $y$ aus $y e^{x y - 1}$ heraus.

$y' = \frac{y (e^{x y - 1}) - y}{x (1 - e^{x y - 1})}$

Schritt 5.6.3.2.2

Faktorisiere $y$ aus $- y$ heraus.

$y' = \frac{y (e^{x y - 1}) + y \cdot - 1}{x (1 - e^{x y - 1})}$

Schritt 5.6.3.2.3

Faktorisiere $y$ aus $y (e^{x y - 1}) + y \cdot - 1$ heraus.

$y' = \frac{y (e^{x y - 1} - 1)}{x (1 - e^{x y - 1})}$

Schritt 5.6.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $e^{x y - 1} - 1$ und $1 - e^{x y - 1}$ .

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Schritt 5.6.3.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $e^{x y - 1}$ heraus.

$y' = \frac{y (- 1 (- e^{x y - 1}) - 1)}{x (1 - e^{x y - 1})}$

Schritt 5.6.3.3.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$y' = \frac{y (- 1 (- e^{x y - 1}) - 1 (1))}{x (1 - e^{x y - 1})}$

Schritt 5.6.3.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- e^{x y - 1}) - 1 (1)$ heraus.

$y' = \frac{y (- 1 (- e^{x y - 1} + 1))}{x (1 - e^{x y - 1})}$

Schritt 5.6.3.3.4

Stelle die Terme um.

$y' = \frac{y (- 1 (1 - e^{x y - 1}))}{x (1 - e^{x y - 1})}$

Schritt 5.6.3.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{y (- 1 (1 - e^{x y - 1}))}{x (1 - e^{x y - 1})}$

Schritt 5.6.3.3.6

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{y \cdot (- 1)}{x}$

Schritt 5.6.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.6.3.4.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $y$ .

$y' = \frac{- 1 \cdot y}{x}$

Schritt 5.6.3.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y}{x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$