Analysis Beispiele

$x y = \sin (x + y)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x y) = \frac{d}{d x} (\sin (x + y))$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$x y' + y$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = x + y$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x + y]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x + y$ .

$\cos (x + y) \frac{d}{d x} [x + y]$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\cos (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\cos (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\cos (x + y) (1 + y')$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$x y' + y = \cos (x + y) (1 + y')$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1.1

Vereinfache $\cos (x + y) (1 + y')$ .

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Schritt 5.1.1.1

Forme um.

$x y' + y = 0 + 0 + \cos (x + y) (1 + y')$

Schritt 5.1.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$x y' + y = \cos (x + y) (1 + y')$

Schritt 5.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x y' + y = \cos (x + y) \cdot 1 + \cos (x + y) y'$

Schritt 5.1.1.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1.1.4.1

Mutltipliziere $\cos (x + y)$ mit $1$ .

$x y' + y = \cos (x + y) + \cos (x + y) y'$

Schritt 5.1.1.4.2

Stelle die Faktoren in $\cos (x + y) + \cos (x + y) y'$ um.

$x y' + y = \cos (x + y) + y' \cos (x + y)$

Schritt 5.2

Subtrahiere $y' \cos (x + y)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y' + y - y' \cos (x + y) = \cos (x + y)$

Schritt 5.3

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y' - y' \cos (x + y) = \cos (x + y) - y$

Schritt 5.4

Faktorisiere $y'$ aus $x y' - y' \cos (x + y)$ heraus.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $y'$ aus $x y'$ heraus.

$y' x - y' \cos (x + y) = \cos (x + y) - y$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $y'$ aus $- y' \cos (x + y)$ heraus.

$y' (x) + y' (- 1 \cos (x + y)) = \cos (x + y) - y$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (x) + y' (- 1 \cos (x + y))$ heraus.

$y' (x - 1 \cos (x + y)) = \cos (x + y) - y$

Schritt 5.5

Schreibe $- 1 \cos (x + y)$ als $- \cos (x + y)$ um.

$y' (x - \cos (x + y)) = \cos (x + y) - y$

Schritt 5.6

Teile jeden Ausdruck in $y' (x - \cos (x + y)) = \cos (x + y) - y$ durch $x - \cos (x + y)$ und vereinfache.

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Schritt 5.6.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (x - \cos (x + y)) = \cos (x + y) - y$ durch $x - \cos (x + y)$ .

$\frac{y' (x - \cos (x + y))}{x - \cos (x + y)} = \frac{\cos (x + y)}{x - \cos (x + y)} + \frac{- y}{x - \cos (x + y)}$

Schritt 5.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - \cos (x + y)$ .

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Schritt 5.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (x - \cos (x + y))}{x - \cos (x + y)} = \frac{\cos (x + y)}{x - \cos (x + y)} + \frac{- y}{x - \cos (x + y)}$

Schritt 5.6.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{\cos (x + y)}{x - \cos (x + y)} + \frac{- y}{x - \cos (x + y)}$

Schritt 5.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.6.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{\cos (x + y)}{x - \cos (x + y)} - \frac{y}{x - \cos (x + y)}$

Schritt 5.6.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{\cos (x + y) - y}{x - \cos (x + y)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x + y) - y}{x - \cos (x + y)}$