Analysis Beispiele

$x = \sqrt{1 - y^{2}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 - y^{2}}$ als ${(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} ({(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 1 - y^{2}$ .

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Schritt 4.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $1 - y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

Schritt 4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

Schritt 4.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $1 - y^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

Schritt 4.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

Schritt 4.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

Schritt 4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

Schritt 4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

Schritt 4.5.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

Schritt 4.6

Differenziere.

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Schritt 4.6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

Schritt 4.6.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.6.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(1 - y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 - y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

Schritt 4.6.2.2

Bringe ${(1 - y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

Schritt 4.6.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

Schritt 4.6.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

Schritt 4.6.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Schritt 4.6.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Schritt 4.7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 4.7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]))$

Schritt 4.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]))$

Schritt 4.7.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 y \frac{d}{d x} [y]))$

Schritt 4.8

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.8.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 (y \frac{d}{d x} [y]))$

Schritt 4.8.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (y \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 4.8.3

Kombiniere $y$ und $\frac{- 2}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{y \cdot - 2}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 4.8.4

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{- 2 \cdot y}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 4.8.5

Faktorisiere $2$ aus $- 2 y$ heraus.

$\frac{2 (- y)}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 4.9

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.9.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (- y)}{2 ({(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 4.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- y)}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 4.9.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 4.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 4.11

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} y'$

Schritt 4.12

Kombiniere $y'$ und $\frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{y' y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.13

Stelle die Faktoren in $y' y$ um.

$- \frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = - \frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 1$ um.

$- \frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 1$

Schritt 6.2

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- \frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 6.2.2.2

Dividiere $\frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ durch $1$ .

$\frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$\frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = - 1$

Schritt 6.3

Multipliziere beide Seiten mit ${(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} = - {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 6.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} = - {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.4.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y y' = - {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.5

Teile jeden Ausdruck in $y y' = - {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ durch $y$ und vereinfache.

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Schritt 6.5.1

Teile jeden Ausdruck in $y y' = - {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ durch $y$ .

$\frac{y y'}{y} = \frac{- {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y}$

Schritt 6.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 6.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y}$

Schritt 6.5.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y}$

Schritt 6.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.5.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y}$

Schritt 7

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y}$