Analysis Beispiele

$x = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ als ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

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Schritt 4.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Schritt 4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Schritt 4.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Schritt 4.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Schritt 4.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Schritt 4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Schritt 4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Schritt 4.5.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Schritt 4.6

Differenziere.

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Schritt 4.6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Schritt 4.6.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.6.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Schritt 4.6.2.2

Bringe ${(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Schritt 4.6.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Schritt 4.6.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Schritt 4.7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 4.7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 4.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 4.7.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 4.8

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2 y y')$

Schritt 4.9

Vereinfache.

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Schritt 4.9.1

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2 y y')$ um.

$(2 x + 2 y y') \frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.9.2

Mutltipliziere $2 x + 2 y y'$ mit $\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x + 2 y y'}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.9.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{2 (x) + 2 y y'}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.9.4

Faktorisiere $2$ aus $2 y y'$ heraus.

$\frac{2 (x) + 2 (y y')}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.9.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (x) + 2 (y y')$ heraus.

$\frac{2 (x + y y')}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.9.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.9.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (x + y y')}{2 ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 4.9.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (x + y y')}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.9.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + y y'}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = \frac{x + y y'}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{x + y y'}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 1$ um.

$\frac{x + y y'}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 1$

Schritt 6.2

Multipliziere beide Seiten mit ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x + y y'}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} = 1 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.1.1

Vereinfache $\frac{x + y y'}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 6.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 6.3.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x + y y'}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} = 1 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.3.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x + y y' = 1 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.3.1.1.2

Vereinfache durch Vertauschen.

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Schritt 6.3.1.1.2.1

Stelle $y$ und $y'$ um.

$x + y' y = 1 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.3.1.1.2.2

Stelle $x$ und $y' y$ um.

$y' y + x = 1 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Mutltipliziere ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$y' y + x = {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.4

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 6.4.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y' y = {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - x$

Schritt 6.4.2

Teile jeden Ausdruck in $y' y = {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - x$ durch $y$ und vereinfache.

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Schritt 6.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $y' y = {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - x$ durch $y$ .

$\frac{y' y}{y} = \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y} + \frac{- x}{y}$

Schritt 6.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 6.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' y}{y} = \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y} + \frac{- x}{y}$

Schritt 6.4.2.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y} + \frac{- x}{y}$

Schritt 6.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.2.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - x}{y}$

Schritt 7

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - x}{y}$