Analysis Beispiele

$x = \ln (1 - 7 y^{2})$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (\ln (1 - 7 y^{2}))$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 1 - 7 y^{2}$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $1 - 7 y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [1 - 7 y^{2}]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [1 - 7 y^{2}]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $1 - 7 y^{2}$ .

$\frac{1}{1 - 7 y^{2}} \frac{d}{d x} [1 - 7 y^{2}]$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - 7 y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 7 y^{2}]$ .

$\frac{1}{1 - 7 y^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 7 y^{2}])$

Schritt 3.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{1 - 7 y^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- 7 y^{2}])$

Schritt 3.2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 7 y^{2}]$ .

$\frac{1}{1 - 7 y^{2}} \frac{d}{d x} [- 7 y^{2}]$

Schritt 3.2.4

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7 y^{2}$ nach $x$ gleich $- 7 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{1 - 7 y^{2}} (- 7 \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Schritt 3.2.5

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.2.5.1

Kombiniere $- 7$ und $\frac{1}{1 - 7 y^{2}}$ .

$\frac{- 7}{1 - 7 y^{2}} \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 3.2.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{7}{1 - 7 y^{2}} \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$- \frac{7}{1 - 7 y^{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{7}{1 - 7 y^{2}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$- \frac{7}{1 - 7 y^{2}} (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 \frac{7}{1 - 7 y^{2}} (y \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.4.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{7}{1 - 7 y^{2}}$ .

$\frac{- 2 \cdot 7}{1 - 7 y^{2}} (y \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $7$ .

$\frac{- 14}{1 - 7 y^{2}} (y \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.4.4

Kombiniere $y$ und $\frac{- 14}{1 - 7 y^{2}}$ .

$\frac{y \cdot - 14}{1 - 7 y^{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.4.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.5.1

Bringe $- 14$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{- 14 \cdot y}{1 - 7 y^{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.4.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{14 y}{1 - 7 y^{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.5

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- \frac{14 y}{1 - 7 y^{2}} y'$

Schritt 3.6

Kombiniere $y'$ und $\frac{14 y}{1 - 7 y^{2}}$ .

$- \frac{y' (14 y)}{1 - 7 y^{2}}$

Schritt 3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.7.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{14 y' y}{1 - 7 y^{2}}$

Schritt 3.7.2

Stelle die Faktoren in $14 y' y$ um.

$- \frac{14 y y'}{1 - 7 y^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = - \frac{14 y y'}{1 - 7 y^{2}}$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{14 y y'}{1 - 7 y^{2}} = 1$ um.

$- \frac{14 y y'}{1 - 7 y^{2}} = 1$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{14 y y'}{1 - 7 y^{2}} = 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{14 y y'}{1 - 7 y^{2}} = 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- \frac{14 y y'}{1 - 7 y^{2}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\frac{14 y y'}{1 - 7 y^{2}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 5.2.2.2

Dividiere $\frac{14 y y'}{1 - 7 y^{2}}$ durch $1$ .

$\frac{14 y y'}{1 - 7 y^{2}} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$\frac{14 y y'}{1 - 7 y^{2}} = - 1$

Schritt 5.3

Multipliziere beide Seiten mit $1 - 7 y^{2}$ .

$\frac{14 y y'}{1 - 7 y^{2}} (1 - 7 y^{2}) = - (1 - 7 y^{2})$

Schritt 5.4

Vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - 7 y^{2}$ .

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Schritt 5.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{14 y y'}{1 - 7 y^{2}} (1 - 7 y^{2}) = - (1 - 7 y^{2})$

Schritt 5.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$14 y y' = - (1 - 7 y^{2})$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Vereinfache $- (1 - 7 y^{2})$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$14 y y' = - 1 \cdot 1 - (- 7 y^{2})$

Schritt 5.4.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$14 y y' = - 1 - (- 7 y^{2})$

Schritt 5.4.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 1$ .

$14 y y' = - 1 + 7 y^{2}$

Schritt 5.4.2.1.2.3

Stelle $- 1$ und $7 y^{2}$ um.

$14 y y' = 7 y^{2} - 1$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $14 y y' = 7 y^{2} - 1$ durch $14 y$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $14 y y' = 7 y^{2} - 1$ durch $14 y$ .

$\frac{14 y y'}{14 y} = \frac{7 y^{2}}{14 y} + \frac{- 1}{14 y}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $14$ .

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Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{14 y y'}{14 y} = \frac{7 y^{2}}{14 y} + \frac{- 1}{14 y}$

Schritt 5.5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y'}{y} = \frac{7 y^{2}}{14 y} + \frac{- 1}{14 y}$

Schritt 5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y'}{y} = \frac{7 y^{2}}{14 y} + \frac{- 1}{14 y}$

Schritt 5.5.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{7 y^{2}}{14 y} + \frac{- 1}{14 y}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $7$ und $14$ .

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Schritt 5.5.3.1.1.1

Faktorisiere $7$ aus $7 y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{7 (y^{2})}{14 y} + \frac{- 1}{14 y}$

Schritt 5.5.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.5.3.1.1.2.1

Faktorisiere $7$ aus $14 y$ heraus.

$y' = \frac{7 (y^{2})}{7 (2 y)} + \frac{- 1}{14 y}$

Schritt 5.5.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{7 y^{2}}{7 (2 y)} + \frac{- 1}{14 y}$

Schritt 5.5.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{y^{2}}{2 y} + \frac{- 1}{14 y}$

Schritt 5.5.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{2}$ und $y$ .

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Schritt 5.5.3.1.2.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{y \cdot y}{2 y} + \frac{- 1}{14 y}$

Schritt 5.5.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.5.3.1.2.2.1

Faktorisiere $y$ aus $2 y$ heraus.

$y' = \frac{y \cdot y}{y \cdot 2} + \frac{- 1}{14 y}$

Schritt 5.5.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{y \cdot y}{y \cdot 2} + \frac{- 1}{14 y}$

Schritt 5.5.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{y}{2} + \frac{- 1}{14 y}$

Schritt 5.5.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{y}{2} - \frac{1}{14 y}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2} - \frac{1}{14 y}$