Analysis Beispiele

$x = \csc (y)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (\csc (y))$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \csc (x)$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u} [\csc (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\csc (u)$ nach $u$ ist $- \csc (u) \cot (u)$ .

$- \csc (u) \cot (u) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$- \csc (y) \cot (y) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- \csc (y) \cot (y) y'$

Schritt 3.3

Stelle die Faktoren von $- \csc (y) \cot (y) y'$ um.

$- \cot (y) \csc (y) y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = - \cot (y) \csc (y) y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $- \cot (y) \csc (y) y' = 1$ um.

$- \cot (y) \csc (y) y' = 1$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $- \cot (y) \csc (y) y' = 1$ durch $- \cot (y) \csc (y)$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \cot (y) \csc (y) y' = 1$ durch $- \cot (y) \csc (y)$ .

$\frac{- \cot (y) \csc (y) y'}{- \cot (y) \csc (y)} = \frac{1}{- \cot (y) \csc (y)}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\cot (y) \csc (y) y'}{\cot (y) \csc (y)} = \frac{1}{- \cot (y) \csc (y)}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cot (y)$ .

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cot (y) \csc (y) y'}{\cot (y) \csc (y)} = \frac{1}{- \cot (y) \csc (y)}$

Schritt 5.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\csc (y) y'}{\csc (y)} = \frac{1}{- \cot (y) \csc (y)}$

Schritt 5.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\csc (y)$ .

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Schritt 5.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\csc (y) y'}{\csc (y)} = \frac{1}{- \cot (y) \csc (y)}$

Schritt 5.2.2.3.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{1}{- \cot (y) \csc (y)}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 5.2.3.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$y' = \frac{- 1 (- 1)}{- \cot (y) \csc (y)}$

Schritt 5.2.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{1}{\cot (y) \csc (y)}$

Schritt 5.2.3.2

Separiere Brüche.

$y' = - (\frac{1}{\csc (y)} \cdot \frac{1}{\cot (y)})$

Schritt 5.2.3.3

Schreibe $\cot (y)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$y' = - (\frac{1}{\csc (y)} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (y)}{\sin (y)}})$

Schritt 5.2.3.4

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\cos (y)}{\sin (y)}$ zu dividieren.

$y' = - (\frac{1}{\csc (y)} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)})$

Schritt 5.2.3.5

Wandle von $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ nach $\tan (y)$ um.

$y' = - (\frac{1}{\csc (y)} \tan (y))$

Schritt 5.2.3.6

Schreibe $\csc (y)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$y' = - (\frac{1}{\frac{1}{\sin (y)}} \tan (y))$

Schritt 5.2.3.7

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\sin (y)}$ zu dividieren.

$y' = - (1 \sin (y) \tan (y))$

Schritt 5.2.3.8

Mutltipliziere $\sin (y)$ mit $1$ .

$y' = - \sin (y) \tan (y)$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \sin (y) \tan (y)$