Analysis Beispiele

$x = \sec (2 y)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (\sec (2 y))$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sec (x)$ und $g (x) = 2 y$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 y$ .

$\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\sec (u)$ nach $u$ ist $\sec (u) \tan (u)$ .

$\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 y$ .

$\sec (2 y) \tan (2 y) \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\sec (2 y) \tan (2 y) (2 \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\sec (2 y) \tan (2 y) (2 y')$

Schritt 3.4

Stelle die Faktoren von $\sec (2 y) \tan (2 y) (2 y')$ um.

$2 \sec (2 y) \tan (2 y) y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = 2 \sec (2 y) \tan (2 y) y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $2 \sec (2 y) \tan (2 y) y' = 1$ um.

$2 \sec (2 y) \tan (2 y) y' = 1$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $2 \sec (2 y) \tan (2 y) y' = 1$ durch $2 \sec (2 y) \tan (2 y)$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \sec (2 y) \tan (2 y) y' = 1$ durch $2 \sec (2 y) \tan (2 y)$ .

$\frac{2 \sec (2 y) \tan (2 y) y'}{2 \sec (2 y) \tan (2 y)} = \frac{1}{2 \sec (2 y) \tan (2 y)}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sec (2 y) \tan (2 y) y'}{2 \sec (2 y) \tan (2 y)} = \frac{1}{2 \sec (2 y) \tan (2 y)}$

Schritt 5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sec (2 y) \tan (2 y) y'}{\sec (2 y) \tan (2 y)} = \frac{1}{2 \sec (2 y) \tan (2 y)}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sec (2 y)$ .

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sec (2 y) \tan (2 y) y'}{\sec (2 y) \tan (2 y)} = \frac{1}{2 \sec (2 y) \tan (2 y)}$

Schritt 5.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\tan (2 y) y'}{\tan (2 y)} = \frac{1}{2 \sec (2 y) \tan (2 y)}$

Schritt 5.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\tan (2 y)$ .

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Schritt 5.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\tan (2 y) y'}{\tan (2 y)} = \frac{1}{2 \sec (2 y) \tan (2 y)}$

Schritt 5.2.2.3.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{1}{2 \sec (2 y) \tan (2 y)}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Separiere Brüche.

$y' = \frac{1}{2 \tan (2 y)} \cdot \frac{1}{\sec (2 y)}$

Schritt 5.2.3.2

Schreibe $\sec (2 y)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$y' = \frac{1}{2 \tan (2 y)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (2 y)}}$

Schritt 5.2.3.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\cos (2 y)}$ zu dividieren.

$y' = \frac{1}{2 \tan (2 y)} (1 \cos (2 y))$

Schritt 5.2.3.4

Mutltipliziere $\cos (2 y)$ mit $1$ .

$y' = \frac{1}{2 \tan (2 y)} \cos (2 y)$

Schritt 5.2.3.5

Separiere Brüche.

$y' = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\tan (2 y)} \cos (2 y)$

Schritt 5.2.3.6

Schreibe $\tan (2 y)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$y' = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{\sin (2 y)}{\cos (2 y)}} \cos (2 y)$

Schritt 5.2.3.7

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\sin (2 y)}{\cos (2 y)}$ zu dividieren.

$y' = \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (2 y)}{\sin (2 y)} \cos (2 y)$

Schritt 5.2.3.8

Wandle von $\frac{\cos (2 y)}{\sin (2 y)}$ nach $\cot (2 y)$ um.

$y' = \frac{1}{2} \cot (2 y) \cos (2 y)$

Schritt 5.2.3.9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\cot (2 y)$ .

$y' = \frac{\cot (2 y)}{2} \cos (2 y)$

Schritt 5.2.3.10

Kombiniere $\frac{\cot (2 y)}{2}$ und $\cos (2 y)$ .

$y' = \frac{\cot (2 y) \cos (2 y)}{2}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cot (2 y) \cos (2 y)}{2}$