Analysis Beispiele

$y = {(x^{2} \ln (x))}^{4}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} \ln (x))}^{4})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = x^{2} \ln (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} \ln (x)$ .

$4 {(x^{2} \ln (x))}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$4 {(x^{2} \ln (x))}^{3} (x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$4 {(x^{2} \ln (x))}^{3} (x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{x}$ .

$4 {(x^{2} \ln (x))}^{3} (\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$4 {(x^{2} \ln (x))}^{3} (\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$4 {(x^{2} \ln (x))}^{3} (\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.4.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$4 {(x^{2} \ln (x))}^{3} (\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.4.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 {(x^{2} \ln (x))}^{3} (\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.4.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$4 {(x^{2} \ln (x))}^{3} (\frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.4.2.2.5

Dividiere $x$ durch $1$ .

$4 {(x^{2} \ln (x))}^{3} (x + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 {(x^{2} \ln (x))}^{3} (x + \ln (x) (2 x))$

Schritt 3.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Wende die Produktregel auf $x^{2} \ln (x)$ an.

$4 ({(x^{2})}^{3} \ln^{3} (x)) (x + \ln (x) (2 x))$

Schritt 3.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 ({(x^{2})}^{3} \ln^{3} (x)) x + 4 ({(x^{2})}^{3} \ln^{3} (x)) (\ln (x) (2 x))$

Schritt 3.5.3

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (x^{2 \cdot 3} \ln^{3} (x)) x + 4 ({(x^{2})}^{3} \ln^{3} (x)) (\ln (x) (2 x))$

Schritt 3.5.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$4 (x^{6} \ln^{3} (x)) x + 4 ({(x^{2})}^{3} \ln^{3} (x)) (\ln (x) (2 x))$

Schritt 3.5.3.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$4 (x^{1} x^{6}) \ln^{3} (x) + 4 ({(x^{2})}^{3} \ln^{3} (x)) (\ln (x) (2 x))$

Schritt 3.5.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 x^{1 + 6} \ln^{3} (x) + 4 ({(x^{2})}^{3} \ln^{3} (x)) (\ln (x) (2 x))$

Schritt 3.5.3.4

Addiere $1$ und $6$ .

$4 x^{7} \ln^{3} (x) + 4 ({(x^{2})}^{3} \ln^{3} (x)) (\ln (x) (2 x))$

Schritt 3.5.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{7} \ln^{3} (x) + 4 (x^{2 \cdot 3} \ln^{3} (x)) (\ln (x) (2 x))$

Schritt 3.5.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$4 x^{7} \ln^{3} (x) + 4 (x^{6} \ln^{3} (x)) (\ln (x) (2 x))$

Schritt 3.5.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$4 x^{7} \ln^{3} (x) + 8 x^{6} \ln^{3} (x) (\ln (x) (x))$

Schritt 3.5.3.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$4 x^{7} \ln^{3} (x) + 8 (x^{1} x^{6}) \ln^{3} (x) \ln (x)$

Schritt 3.5.3.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 x^{7} \ln^{3} (x) + 8 x^{1 + 6} \ln^{3} (x) \ln (x)$

Schritt 3.5.3.9

Addiere $1$ und $6$ .

$4 x^{7} \ln^{3} (x) + 8 x^{7} \ln^{3} (x) \ln (x)$

Schritt 3.5.3.10

Potenziere $\ln (x)$ mit $1$ .

$4 x^{7} \ln^{3} (x) + 8 x^{7} (\ln^{1} (x) \ln^{3} (x))$

Schritt 3.5.3.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 x^{7} \ln^{3} (x) + 8 x^{7} {\ln (x)}^{1 + 3}$

Schritt 3.5.3.12

Addiere $1$ und $3$ .

$4 x^{7} \ln^{3} (x) + 8 x^{7} \ln^{4} (x)$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 4 x^{7} \ln^{3} (x) + 8 x^{7} \ln^{4} (x)$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 x^{7} \ln^{3} (x) + 8 x^{7} \ln^{4} (x)$