Analysis Beispiele

$y = {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ und $g (x) = x^{2} + 2 x$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 2 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 2 x$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Schritt 3.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Schritt 3.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Schritt 3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Schritt 3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Schritt 3.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 2 x)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Schritt 3.6.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${(x^{2} + 2 x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 2 x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Schritt 3.6.3

Bringe ${(x^{2} + 2 x)}^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Schritt 3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 3.9

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + 2 \cdot 1)$

Schritt 3.11

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + 2)$

Schritt 3.12

Vereinfache.

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Schritt 3.12.1

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{3 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + 2)$ um.

$(2 x + 2) \frac{1}{3 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.12.2

Mutltipliziere $2 x + 2$ mit $\frac{1}{3 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2 x + 2}{3 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.12.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2$ heraus.

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Schritt 3.12.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{2 (x) + 2}{3 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.12.3.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (x) + 2 (1)}{3 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.12.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x) + 2 (1)$ heraus.

$\frac{2 (x + 1)}{3 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{2 (x + 1)}{3 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (x + 1)}{3 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$