Analysis Beispiele

$y = (x + \frac{1}{x}) (x - \frac{1}{x})$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((x + \frac{1}{x}) (x - \frac{1}{x}))$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x + \frac{1}{x}$ und $g (x) = x - \frac{1}{x}$ .

$(x + \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - \frac{1}{x}] + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - \frac{1}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

$(x + \frac{1}{x}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Schritt 3.4

Differenziere.

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Schritt 3.4.1

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$(x + \frac{1}{x}) (1 - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Schritt 3.4.3

Multipliziere.

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Schritt 3.4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Schritt 3.4.3.2

Mutltipliziere $x^{- 2}$ mit $1$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Schritt 3.4.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Schritt 3.4.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $0$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2} + 0) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Schritt 3.4.5.2

Addiere $1 + x^{- 2}$ und $0$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2}) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Schritt 3.4.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + \frac{1}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2}) + (x - \frac{1}{x}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Schritt 3.4.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2}) + (x - \frac{1}{x}) (1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Schritt 3.4.8

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$(x + \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2}) + (x - \frac{1}{x}) (1 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Schritt 3.4.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2}) + (x - \frac{1}{x}) (1 - x^{- 2})$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x^{2}}) + (x - \frac{1}{x}) (1 - x^{- 2})$

Schritt 3.5.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x^{2}}) + (x - \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 3.5.3

Stelle die Terme um.

$(1 + \frac{1}{x^{2}}) (x + \frac{1}{x}) + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Schritt 3.5.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.4.1

Multipliziere $(1 + \frac{1}{x^{2}}) (x + \frac{1}{x})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.5.4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 (x + \frac{1}{x}) + \frac{1}{x^{2}} (x + \frac{1}{x}) + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Schritt 3.5.4.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 x + 1 \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} (x + \frac{1}{x}) + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Schritt 3.5.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 x + 1 \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} x + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Schritt 3.5.4.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.4.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x + 1 \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} x + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Schritt 3.5.4.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $1$ .

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} x + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Schritt 3.5.4.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.5.4.2.1.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x \cdot x} x + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Schritt 3.5.4.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x \cdot x} x + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Schritt 3.5.4.2.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Schritt 3.5.4.2.1.4

Kombinieren.

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1 \cdot 1}{x^{2} x} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Schritt 3.5.4.2.1.5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.5.4.2.1.5.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 3.5.4.2.1.5.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1 \cdot 1}{x^{2} x^{1}} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Schritt 3.5.4.2.1.5.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1 \cdot 1}{x^{2 + 1}} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Schritt 3.5.4.2.1.5.2

Addiere $2$ und $1$ .

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1 \cdot 1}{x^{3}} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Schritt 3.5.4.2.1.6

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Schritt 3.5.4.2.2

Addiere $\frac{1}{x}$ und $\frac{1}{x}$ .

$x + 2 \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Schritt 3.5.4.3

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x}$ .

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Schritt 3.5.4.4

Multipliziere $(1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.5.4.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + 1 (x - \frac{1}{x}) - \frac{1}{x^{2}} (x - \frac{1}{x})$

Schritt 3.5.4.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + 1 x + 1 (- \frac{1}{x}) - \frac{1}{x^{2}} (x - \frac{1}{x})$

Schritt 3.5.4.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + 1 x + 1 (- \frac{1}{x}) - \frac{1}{x^{2}} x - \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$

Schritt 3.5.4.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.5.4.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.4.5.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x + 1 (- \frac{1}{x}) - \frac{1}{x^{2}} x - \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$

Schritt 3.5.4.5.1.2

Mutltipliziere $- \frac{1}{x}$ mit $1$ .

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} x - \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$

Schritt 3.5.4.5.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.5.4.5.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x^{2}}$ in den Zähler.

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x^{2}} x - \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$

Schritt 3.5.4.5.1.3.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x \cdot x} x - \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$

Schritt 3.5.4.5.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x \cdot x} x - \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$

Schritt 3.5.4.5.1.3.4

Forme den Ausdruck um.

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x} - \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$

Schritt 3.5.4.5.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$

Schritt 3.5.4.5.1.5

Multipliziere $- \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$ .

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Schritt 3.5.4.5.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + 1 \frac{1}{x^{2}} \frac{1}{x}$

Schritt 3.5.4.5.1.5.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{2}}$ mit $1$ .

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 3.5.4.5.1.5.3

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{2}}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2} x}$

Schritt 3.5.4.5.1.5.4

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.5.4.5.1.5.4.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 3.5.4.5.1.5.4.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2} x^{1}}$

Schritt 3.5.4.5.1.5.4.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2 + 1}}$

Schritt 3.5.4.5.1.5.4.2

Addiere $2$ und $1$ .

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 3.5.4.5.2

Subtrahiere $\frac{1}{x}$ von $- \frac{1}{x}$ .

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - 2 \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 3.5.4.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.4.6.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{x}$ .

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x + \frac{- 2}{x} + \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 3.5.4.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 3.5.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}}$ .

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Schritt 3.5.5.1

Subtrahiere $\frac{2}{x}$ von $\frac{2}{x}$ .

$x + \frac{1}{x^{3}} + x + 0 + \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 3.5.5.2

Addiere $x + \frac{1}{x^{3}} + x$ und $0$ .

$x + \frac{1}{x^{3}} + x + \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 3.5.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x + x + \frac{1 + 1}{x^{3}}$

Schritt 3.5.7

Addiere $1$ und $1$ .

$x + x + \frac{2}{x^{3}}$

Schritt 3.5.8

Addiere $x$ und $x$ .

$2 x + \frac{2}{x^{3}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 2 x + \frac{2}{x^{3}}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x + \frac{2}{x^{3}}$