Analysis Beispiele

$y + x \cos (y) = x^{2} y$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y + x \cos (y)) = \frac{d}{d x} (x^{2} y)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y + x \cos (y)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x \cos (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x \cos (y)]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$y' + \frac{d}{d x} [x \cos (y)]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x \cos (y)]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \cos (y)$ .

$y' + x \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$y' + x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$y' + x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$y' + x (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$y' + x (- \sin (y) y') + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y' + x (- \sin (y) y') + \cos (y) \cdot 1$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $\cos (y)$ mit $1$ .

$y' + x (- \sin (y) y') + \cos (y)$

Schritt 2.4

Stelle die Terme um.

$- x \sin (y) y' + y' + \cos (y)$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x)$

Schritt 3.4

Stelle um.

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Schritt 3.4.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$x^{2} y' + 2 \cdot y x$

Schritt 3.4.2

Stelle die Terme um.

$x^{2} y' + 2 x y$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- x \sin (y) y' + y' + \cos (y) = x^{2} y' + 2 x y$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Stelle die Faktoren in $- x \sin (y) y' + y' + \cos (y)$ um.

$- x y' \sin (y) + y' + \cos (y) = x^{2} y' + 2 x y$

Schritt 5.2

Subtrahiere $x^{2} y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x y' \sin (y) + y' + \cos (y) - x^{2} y' = 2 x y$

Schritt 5.3

Subtrahiere $\cos (y)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x y' \sin (y) + y' - x^{2} y' = 2 x y - \cos (y)$

Schritt 5.4

Faktorisiere $y'$ aus $- x y' \sin (y) + y' - x^{2} y'$ heraus.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $y'$ aus $- x y' \sin (y)$ heraus.

$y' (- x \sin (y)) + y' - x^{2} y' = 2 x y - \cos (y)$

Schritt 5.4.2

Potenziere $y'$ mit $1$ .

$y' (- x \sin (y)) + y' - x^{2} y' = 2 x y - \cos (y)$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $y'$ aus ${y'}^{1}$ heraus.

$y' (- x \sin (y)) + y' \cdot 1 - x^{2} y' = 2 x y - \cos (y)$

Schritt 5.4.4

Faktorisiere $y'$ aus $- x^{2} y'$ heraus.

$y' (- x \sin (y)) + y' \cdot 1 + y' (- x^{2}) = 2 x y - \cos (y)$

Schritt 5.4.5

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- x \sin (y)) + y' \cdot 1$ heraus.

$y' (- x \sin (y) + 1) + y' (- x^{2}) = 2 x y - \cos (y)$

Schritt 5.4.6

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- x \sin (y) + 1) + y' (- x^{2})$ heraus.

$y' (- x \sin (y) + 1 - x^{2}) = 2 x y - \cos (y)$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $y' (- x \sin (y) + 1 - x^{2}) = 2 x y - \cos (y)$ durch $- x \sin (y) + 1 - x^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (- x \sin (y) + 1 - x^{2}) = 2 x y - \cos (y)$ durch $- x \sin (y) + 1 - x^{2}$ .

$\frac{y' (- x \sin (y) + 1 - x^{2})}{- x \sin (y) + 1 - x^{2}} = \frac{2 x y}{- x \sin (y) + 1 - x^{2}} + \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y) + 1 - x^{2}}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- x \sin (y) + 1 - x^{2}$ .

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Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- x \sin (y) + 1 - x^{2})}{- x \sin (y) + 1 - x^{2}} = \frac{2 x y}{- x \sin (y) + 1 - x^{2}} + \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y) + 1 - x^{2}}$

Schritt 5.5.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{2 x y}{- x \sin (y) + 1 - x^{2}} + \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y) + 1 - x^{2}}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{2 x y}{- x \sin (y) + 1 - x^{2}} - \frac{\cos (y)}{- x \sin (y) + 1 - x^{2}}$

Schritt 5.5.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{2 x y - \cos (y)}{- x \sin (y) + 1 - x^{2}}$

Schritt 5.5.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- x \sin (y)$ heraus.

$y' = \frac{2 x y - \cos (y)}{- (x \sin (y)) + 1 - x^{2}}$

Schritt 5.5.3.4

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$y' = \frac{2 x y - \cos (y)}{- (x \sin (y)) - 1 (- 1) - x^{2}}$

Schritt 5.5.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x \sin (y)) - 1 (- 1)$ heraus.

$y' = \frac{2 x y - \cos (y)}{- (x \sin (y) - 1) - x^{2}}$

Schritt 5.5.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$y' = \frac{2 x y - \cos (y)}{- (x \sin (y) - 1) - (x^{2})}$

Schritt 5.5.3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x \sin (y) - 1) - (x^{2})$ heraus.

$y' = \frac{2 x y - \cos (y)}{- (x \sin (y) - 1 + x^{2})}$

Schritt 5.5.3.8

Stelle die Minuszeichen um.

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Schritt 5.5.3.8.1

Schreibe $- (x \sin (y) - 1 + x^{2})$ als $- 1 (x \sin (y) - 1 + x^{2})$ um.

$y' = \frac{2 x y - \cos (y)}{- 1 (x \sin (y) - 1 + x^{2})}$

Schritt 5.5.3.8.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{2 x y - \cos (y)}{x \sin (y) - 1 + x^{2}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y - \cos (y)}{x \sin (y) - 1 + x^{2}}$