Analysis Beispiele

$y = \frac{x + 1}{5 x - 1}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x + 1}{5 x - 1})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x + 1$ und $g (x) = 5 x - 1$ .

$\frac{(5 x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [5 x - 1]}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(5 x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [5 x - 1]}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(5 x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [5 x - 1]}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(5 x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [5 x - 1]}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(5 x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [5 x - 1]}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.4.2

Mutltipliziere $5 x - 1$ mit $1$ .

$\frac{5 x - 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [5 x - 1]}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{5 x - 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.6

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{5 x - 1 - (x + 1) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{5 x - 1 - (x + 1) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.8

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{5 x - 1 - (x + 1) (5 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.9

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{5 x - 1 - (x + 1) (5 + 0)}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.10.1

Addiere $5$ und $0$ .

$\frac{5 x - 1 - (x + 1) \cdot 5}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.10.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{5 x - 1 - 5 (x + 1)}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 x - 1 - 5 x - 5 \cdot 1}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $5 x - 1 - 5 x - 5 \cdot 1$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Subtrahiere $5 x$ von $5 x$ .

$\frac{0 - 1 - 5 \cdot 1}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.2.1.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{- 1 - 5 \cdot 1}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.2.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$\frac{- 1 - 5}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.2.3

Subtrahiere $5$ von $- 1$ .

$\frac{- 6}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{6}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - \frac{6}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6}{{(5 x - 1)}^{2}}$