Analysis Beispiele

$y = x^{7} \ln (x) - \frac{1}{2} x^{2}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{7} \ln (x) - \frac{1}{2} x^{2})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{7} \ln (x) - \frac{1}{2} x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{7} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{7} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{7} \ln (x)]$ .

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Schritt 3.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{7}$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{7} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$x^{7} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 7$ .

$x^{7} \frac{1}{x} + \ln (x) (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Schritt 3.2.4

Kombiniere $x^{7}$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{7}}{x} + \ln (x) (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Schritt 3.2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{7}$ und $x$ .

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Schritt 3.2.5.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{7}$ heraus.

$\frac{x \cdot x^{6}}{x} + \ln (x) (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Schritt 3.2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x \cdot x^{6}}{x^{1}} + \ln (x) (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Schritt 3.2.5.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{x \cdot x^{6}}{x \cdot 1} + \ln (x) (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Schritt 3.2.5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cdot x^{6}}{x \cdot 1} + \ln (x) (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Schritt 3.2.5.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{6}}{1} + \ln (x) (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Schritt 3.2.5.2.5

Dividiere $x^{6}$ durch $1$ .

$x^{6} + \ln (x) (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- \frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{2} x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{6} + \ln (x) (7 x^{6}) - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{6} + \ln (x) (7 x^{6}) - \frac{1}{2} (2 x)$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x^{6} + \ln (x) (7 x^{6}) - 2 (\frac{1}{2}) x$

Schritt 3.3.4

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2}$ .

$x^{6} + \ln (x) (7 x^{6}) + \frac{- 2}{2} x$

Schritt 3.3.5

Kombiniere $\frac{- 2}{2}$ und $x$ .

$x^{6} + \ln (x) (7 x^{6}) + \frac{- 2 x}{2}$

Schritt 3.3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 3.3.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$x^{6} + \ln (x) (7 x^{6}) + \frac{2 (- x)}{2}$

Schritt 3.3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$x^{6} + \ln (x) (7 x^{6}) + \frac{2 (- x)}{2 (1)}$

Schritt 3.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{6} + \ln (x) (7 x^{6}) + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{6} + \ln (x) (7 x^{6}) + \frac{- x}{1}$

Schritt 3.3.6.2.4

Dividiere $- x$ durch $1$ .

$x^{6} + \ln (x) (7 x^{6}) - x$

Schritt 3.4

Stelle die Terme um.

$x^{6} + 7 x^{6} \ln (x) - x$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = x^{6} + 7 x^{6} \ln (x) - x$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{6} + 7 x^{6} \ln (x) - x$