Analysis Beispiele

$y = 3 x^{8} - \sin (x) + x^{3} \tan (x)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3 x^{8} - \sin (x) + x^{3} \tan (x))$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{8} - \sin (x) + x^{3} \tan (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{8}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{3} \tan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{8}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{3} \tan (x)]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{8}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{8}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{8}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{3} \tan (x)]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 8$ .

$3 (8 x^{7}) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{3} \tan (x)]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $8$ mit $3$ .

$24 x^{7} + \frac{d}{d x} [- \sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{3} \tan (x)]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \sin (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$24 x^{7} - \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{3} \tan (x)]$

Schritt 3.3.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$24 x^{7} - \cos (x) + \frac{d}{d x} [x^{3} \tan (x)]$

Schritt 3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{3} \tan (x)]$ .

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Schritt 3.4.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = \tan (x)$ .

$24 x^{7} - \cos (x) + x^{3} \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3.4.2

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$24 x^{7} - \cos (x) + x^{3} \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$24 x^{7} - \cos (x) + x^{3} \sec^{2} (x) + \tan (x) (3 x^{2})$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Stelle die Terme um.

$24 x^{7} + x^{3} \sec^{2} (x) + 3 x^{2} \tan (x) - \cos (x)$

Schritt 3.5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.2.1

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$24 x^{7} + x^{3} {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + 3 x^{2} \tan (x) - \cos (x)$

Schritt 3.5.2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$24 x^{7} + x^{3} \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + 3 x^{2} \tan (x) - \cos (x)$

Schritt 3.5.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$24 x^{7} + x^{3} \frac{1}{\cos^{2} (x)} + 3 x^{2} \tan (x) - \cos (x)$

Schritt 3.5.2.4

Kombiniere $x^{3}$ und $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$24 x^{7} + \frac{x^{3}}{\cos^{2} (x)} + 3 x^{2} \tan (x) - \cos (x)$

Schritt 3.5.2.5

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$24 x^{7} + \frac{x^{3}}{\cos^{2} (x)} + 3 x^{2} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x)$

Schritt 3.5.2.6

Multipliziere $3 x^{2} \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Schritt 3.5.2.6.1

Kombiniere $3$ und $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$24 x^{7} + \frac{x^{3}}{\cos^{2} (x)} + x^{2} \frac{3 \sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x)$

Schritt 3.5.2.6.2

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{3 \sin (x)}{\cos (x)}$ .

$24 x^{7} + \frac{x^{3}}{\cos^{2} (x)} + \frac{x^{2} (3 \sin (x))}{\cos (x)} - \cos (x)$

Schritt 3.5.2.7

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$24 x^{7} + \frac{x^{3}}{\cos^{2} (x)} + \frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x)$

Schritt 3.5.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.3.1

Multipliziere mit $1$ .

$24 x^{7} + \frac{x^{3}}{\cos^{2} (x) \cdot 1} + \frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x)$

Schritt 3.5.3.2

Separiere Brüche.

$24 x^{7} + \frac{x^{3}}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x)$

Schritt 3.5.3.3

Wandle von $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ nach $\sec^{2} (x)$ um.

$24 x^{7} + \frac{x^{3}}{1} \sec^{2} (x) + \frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x)$

Schritt 3.5.3.4

Dividiere $x^{3}$ durch $1$ .

$24 x^{7} + x^{3} \sec^{2} (x) + \frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x)$

Schritt 3.5.3.5

Separiere Brüche.

$24 x^{7} + x^{3} \sec^{2} (x) + \frac{3 x^{2}}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x)$

Schritt 3.5.3.6

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$24 x^{7} + x^{3} \sec^{2} (x) + \frac{3 x^{2}}{1} \tan (x) - \cos (x)$

Schritt 3.5.3.7

Dividiere $3 x^{2}$ durch $1$ .

$24 x^{7} + x^{3} \sec^{2} (x) + 3 x^{2} \tan (x) - \cos (x)$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 24 x^{7} + x^{3} \sec^{2} (x) + 3 x^{2} \tan (x) - \cos (x)$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 24 x^{7} + x^{3} \sec^{2} (x) + 3 x^{2} \tan (x) - \cos (x)$