Analysis Beispiele

$y = 4 \arcsin (2 x^{3})$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (4 \arcsin (2 x^{3}))$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 \arcsin (2 x^{3})$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\arcsin (2 x^{3})]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\arcsin (2 x^{3})]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arcsin (x)$ und $g (x) = 2 x^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x^{3}$ .

$4 (\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\arcsin (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$4 (\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x^{3}$ .

$4 (\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x^{3})}^{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Schritt 3.3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$4 (\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 (x^{3}))}^{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Schritt 3.3.2

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 (x^{3})$ an.

$4 (\frac{1}{\sqrt{1 - (2^{2} {(x^{3})}^{2})}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Schritt 3.3.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 (\frac{1}{\sqrt{1 - (4 {(x^{3})}^{2})}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Schritt 3.3.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (\frac{1}{\sqrt{1 - (4 x^{3 \cdot 2})}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Schritt 3.3.2.1.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$4 (\frac{1}{\sqrt{1 - (4 x^{6})}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Schritt 3.3.2.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$4 (\frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Schritt 3.3.2.2

Kombiniere $\frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}}$ und $4$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Schritt 3.3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{3}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 3.3.4

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.4.1

Kombiniere $2$ und $\frac{4}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3.3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{8}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{8}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}} (3 x^{2})$

Schritt 3.3.6

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.6.1

Kombiniere $3$ und $\frac{8}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}}$ .

$\frac{3 \cdot 8}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}} x^{2}$

Schritt 3.3.6.2

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$\frac{24}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}} x^{2}$

Schritt 3.3.6.3

Kombiniere $\frac{24}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}}$ und $x^{2}$ .

$\frac{24 x^{2}}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{24 x^{2}}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{24 x^{2}}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}}$