Analysis Beispiele

$y = 5 \cos^{- 4} (x) + \sin (x) \cos (x)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (5 \cos^{- 4} (x) + \sin (x) \cos (x))$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 \cos^{- 4} (x) + \sin (x) \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 \cos^{- 4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [5 \cos^{- 4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 \cos^{- 4} (x)]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 \cos^{- 4} (x)$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [\cos^{- 4} (x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\cos^{- 4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 4}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

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Schritt 3.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\cos (x)$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{- 4}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Schritt 3.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 4$ .

$5 (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Schritt 3.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\cos (x)$ .

$5 (- 4 \cos^{- 5} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Schritt 3.2.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$5 (- 4 \cos^{- 5} (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$5 (4 \cos^{- 5} (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Schritt 3.2.5

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

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Schritt 3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 3.3.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 3.3.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (x)$

Schritt 3.3.4

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \cos (x)$

Schritt 3.3.5

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \cos (x)$

Schritt 3.3.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \cos (x)$

Schritt 3.3.7

Addiere $1$ und $1$ .

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x)$

Schritt 3.3.8

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)$

Schritt 3.3.9

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)$

Schritt 3.3.10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}$

Schritt 3.3.11

Addiere $1$ und $1$ .

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Stelle $- \sin^{2} (x)$ und $\cos^{2} (x)$ um.

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Schritt 3.4.2

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Kosinus an.

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) + \cos (2 x)$

Schritt 3.4.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$20 \frac{1}{\cos^{5} (x)} \sin (x) + \cos (2 x)$

Schritt 3.4.3.2

Kombiniere $20$ und $\frac{1}{\cos^{5} (x)}$ .

$\frac{20}{\cos^{5} (x)} \sin (x) + \cos (2 x)$

Schritt 3.4.3.3

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{20}{\cos^{5} (x) \cdot 1} \sin (x) + \cos (2 x)$

Schritt 3.4.3.4

Separiere Brüche.

$\frac{20}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{5} (x)} \sin (x) + \cos (2 x)$

Schritt 3.4.3.5

Wandle von $\frac{1}{\cos^{5} (x)}$ nach $\sec^{5} (x)$ um.

$\frac{20}{1} \sec^{5} (x) \sin (x) + \cos (2 x)$

Schritt 3.4.3.6

Dividiere $20$ durch $1$ .

$20 \sec^{5} (x) \sin (x) + \cos (2 x)$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 20 \sec^{5} (x) \sin (x) + \cos (2 x)$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 20 \sec^{5} (x) \sin (x) + \cos (2 x)$