Analysis Beispiele

$y = 4 x {(3 x - 9)}^{- 4}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (4 x {(3 x - 9)}^{- 4})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x {(3 x - 9)}^{- 4}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x {(3 x - 9)}^{- 4}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x {(3 x - 9)}^{- 4}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(3 x - 9)}^{- 4}$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [{(3 x - 9)}^{- 4}] + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 4}$ und $g (x) = 3 x - 9$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x - 9$ .

$4 (x (\frac{d}{d u} [u^{- 4}] \frac{d}{d x} [3 x - 9]) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 4$ .

$4 (x (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} [3 x - 9]) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x - 9$ .

$4 (x (- 4 {(3 x - 9)}^{- 5} \frac{d}{d x} [3 x - 9]) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4

Differenziere.

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Schritt 3.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$4 (x (- 4 {(3 x - 9)}^{- 5} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9])) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (x (- 4 {(3 x - 9)}^{- 5} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 (x (- 4 {(3 x - 9)}^{- 5} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9])) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$4 (x (- 4 {(3 x - 9)}^{- 5} (3 + \frac{d}{d x} [- 9])) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4.5

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 (x (- 4 {(3 x - 9)}^{- 5} (3 + 0)) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.6.1

Addiere $3$ und $0$ .

$4 (x (- 4 {(3 x - 9)}^{- 5} \cdot 3) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4.6.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$4 (x (- 12 {(3 x - 9)}^{- 5}) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 (x (- 12 {(3 x - 9)}^{- 5}) + {(3 x - 9)}^{- 4} \cdot 1)$

Schritt 3.4.8

Mutltipliziere ${(3 x - 9)}^{- 4}$ mit $1$ .

$4 (x (- 12 {(3 x - 9)}^{- 5}) + {(3 x - 9)}^{- 4})$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (x (- 12 {(3 x - 9)}^{- 5})) + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $4$ .

$- 48 x {(3 x - 9)}^{- 5} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 48 x \frac{1}{{(3 x - 9)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

Schritt 3.5.3.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.5.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x - 9$ heraus.

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Schritt 3.5.3.2.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$- 48 x \frac{1}{{(3 (x) - 9)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

Schritt 3.5.3.2.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 9$ heraus.

$- 48 x \frac{1}{{(3 x + 3 \cdot - 3)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

Schritt 3.5.3.2.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 x + 3 \cdot - 3$ heraus.

$- 48 x \frac{1}{{(3 (x - 3))}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

Schritt 3.5.3.2.2

Wende die Produktregel auf $3 (x - 3)$ an.

$- 48 x \frac{1}{3^{5} {(x - 3)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

Schritt 3.5.3.2.3

Potenziere $3$ mit $5$ .

$- 48 x \frac{1}{243 {(x - 3)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

Schritt 3.5.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.5.3.3.1

Faktorisiere $3$ aus $- 48 x$ heraus.

$3 (- 16 x) \frac{1}{243 {(x - 3)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

Schritt 3.5.3.3.2

Faktorisiere $3$ aus $243 {(x - 3)}^{5}$ heraus.

$3 (- 16 x) \frac{1}{3 (81 {(x - 3)}^{5})} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

Schritt 3.5.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 (- 16 x) \frac{1}{3 (81 {(x - 3)}^{5})} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

Schritt 3.5.3.3.4

Forme den Ausdruck um.

$- 16 x \frac{1}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

Schritt 3.5.3.4

Kombiniere $- 16$ und $\frac{1}{81 {(x - 3)}^{5}}$ .

$x \frac{- 16}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

Schritt 3.5.3.5

Kombiniere $x$ und $\frac{- 16}{81 {(x - 3)}^{5}}$ .

$\frac{x \cdot - 16}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

Schritt 3.5.3.6

Bringe $- 16$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{- 16 \cdot x}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

Schritt 3.5.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{16 \cdot x}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

Schritt 3.5.3.8

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{16 x}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 \frac{1}{{(3 x - 9)}^{4}}$

Schritt 3.5.3.9

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.5.3.9.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x - 9$ heraus.

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Schritt 3.5.3.9.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$- \frac{16 x}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 \frac{1}{{(3 (x) - 9)}^{4}}$

Schritt 3.5.3.9.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 9$ heraus.

$- \frac{16 x}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 \frac{1}{{(3 x + 3 \cdot - 3)}^{4}}$

Schritt 3.5.3.9.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 x + 3 \cdot - 3$ heraus.

$- \frac{16 x}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 \frac{1}{{(3 (x - 3))}^{4}}$

Schritt 3.5.3.9.2

Wende die Produktregel auf $3 (x - 3)$ an.

$- \frac{16 x}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 \frac{1}{3^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Schritt 3.5.3.9.3

Potenziere $3$ mit $4$ .

$- \frac{16 x}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 \frac{1}{81 {(x - 3)}^{4}}$

Schritt 3.5.3.10

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{81 {(x - 3)}^{4}}$ .

$- \frac{16 x}{81 {(x - 3)}^{5}} + \frac{4}{81 {(x - 3)}^{4}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - \frac{16 x}{81 {(x - 3)}^{5}} + \frac{4}{81 {(x - 3)}^{4}}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{16 x}{81 {(x - 3)}^{5}} + \frac{4}{81 {(x - 3)}^{4}}$