Analysis Beispiele

$y = \tan^{2} (\sin (x))$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\tan^{2} (\sin (x)))$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \tan (\sin (x))$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\tan (\sin (x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (\sin (x))]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\tan (\sin (x))]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\tan (\sin (x))$ .

$2 \tan (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\tan (\sin (x))]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = \sin (x)$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\sin (x)$ .

$2 \tan (\sin (x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\tan (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sec^{2} (u_{2})$ .

$2 \tan (\sin (x)) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\sin (x)$ .

$2 \tan (\sin (x)) (\sec^{2} (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 3.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$2 \tan (\sin (x)) \sec^{2} (\sin (x)) \cos (x)$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Stelle die Faktoren von $2 \tan (\sin (x)) \sec^{2} (\sin (x)) \cos (x)$ um.

$2 \sec^{2} (\sin (x)) \cos (x) \tan (\sin (x))$

Schritt 3.4.2

Schreibe $\sec (\sin (x))$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$2 {(\frac{1}{\cos (\sin (x))})}^{2} \cos (x) \tan (\sin (x))$

Schritt 3.4.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (\sin (x))}$ an.

$2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\sin (x))} \cos (x) \tan (\sin (x))$

Schritt 3.4.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 \frac{1}{\cos^{2} (\sin (x))} \cos (x) \tan (\sin (x))$

Schritt 3.4.5

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{\cos^{2} (\sin (x))}$ .

$\frac{2}{\cos^{2} (\sin (x))} \cos (x) \tan (\sin (x))$

Schritt 3.4.6

Kombiniere $\frac{2}{\cos^{2} (\sin (x))}$ und $\cos (x)$ .

$\frac{2 \cos (x)}{\cos^{2} (\sin (x))} \tan (\sin (x))$

Schritt 3.4.7

Schreibe $\tan (\sin (x))$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{2 \cos (x)}{\cos^{2} (\sin (x))} \cdot \frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))}$

Schritt 3.4.8

Kombinieren.

$\frac{2 \cos (x) \sin (\sin (x))}{\cos^{2} (\sin (x)) \cos (\sin (x))}$

Schritt 3.4.9

Multipliziere $\cos^{2} (\sin (x))$ mit $\cos (\sin (x))$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.9.1

Mutltipliziere $\cos^{2} (\sin (x))$ mit $\cos (\sin (x))$ .

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Schritt 3.4.9.1.1

Potenziere $\cos (\sin (x))$ mit $1$ .

$\frac{2 \cos (x) \sin (\sin (x))}{\cos^{2} (\sin (x)) \cos^{1} (\sin (x))}$

Schritt 3.4.9.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 \cos (x) \sin (\sin (x))}{{\cos (\sin (x))}^{2 + 1}}$

Schritt 3.4.9.2

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{2 \cos (x) \sin (\sin (x))}{\cos^{3} (\sin (x))}$

Schritt 3.4.10

Faktorisiere $\cos (\sin (x))$ aus $\cos^{3} (\sin (x))$ heraus.

$\frac{2 \cos (x) \sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x)) \cos^{2} (\sin (x))}$

Schritt 3.4.11

Separiere Brüche.

$\frac{2 \sin (\sin (x))}{\cos^{2} (\sin (x))} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (\sin (x))}$

Schritt 3.4.12

Schreibe $\frac{\cos (x)}{\cos (\sin (x))}$ als ein Produkt um.

$\frac{2 \sin (\sin (x))}{\cos^{2} (\sin (x))} (\cos (x) \frac{1}{\cos (\sin (x))})$

Schritt 3.4.13

Schreibe $\cos (x)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{2 \sin (\sin (x))}{\cos^{2} (\sin (x))} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (\sin (x))})$

Schritt 3.4.14

Vereinfache.

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Schritt 3.4.14.1

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$\frac{2 \sin (\sin (x))}{\cos^{2} (\sin (x))} (\cos (x) \frac{1}{\cos (\sin (x))})$

Schritt 3.4.14.2

Wandle von $\frac{1}{\cos (\sin (x))}$ nach $\sec (\sin (x))$ um.

$\frac{2 \sin (\sin (x))}{\cos^{2} (\sin (x))} (\cos (x) \sec (\sin (x)))$

Schritt 3.4.15

Faktorisiere $\cos (\sin (x))$ aus $\cos^{2} (\sin (x))$ heraus.

$\frac{2 \sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x)) \cos (\sin (x))} (\cos (x) \sec (\sin (x)))$

Schritt 3.4.16

Separiere Brüche.

$\frac{2}{\cos (\sin (x))} \cdot \frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))} (\cos (x) \sec (\sin (x)))$

Schritt 3.4.17

Wandle von $\frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))}$ nach $\tan (\sin (x))$ um.

$\frac{2}{\cos (\sin (x))} \tan (\sin (x)) (\cos (x) \sec (\sin (x)))$

Schritt 3.4.18

Separiere Brüche.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos (\sin (x))} \tan (\sin (x)) (\cos (x) \sec (\sin (x)))$

Schritt 3.4.19

Wandle von $\frac{1}{\cos (\sin (x))}$ nach $\sec (\sin (x))$ um.

$\frac{2}{1} \sec (\sin (x)) \tan (\sin (x)) (\cos (x) \sec (\sin (x)))$

Schritt 3.4.20

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 \sec (\sin (x)) \tan (\sin (x)) (\cos (x) \sec (\sin (x)))$

Schritt 3.4.21

Multipliziere $2 \sec (\sin (x)) \tan (\sin (x)) (\cos (x) \sec (\sin (x)))$ .

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Schritt 3.4.21.1

Potenziere $\sec (\sin (x))$ mit $1$ .

$2 (\sec^{1} (\sin (x)) \sec (\sin (x))) \tan (\sin (x)) \cos (x)$

Schritt 3.4.21.2

Potenziere $\sec (\sin (x))$ mit $1$ .

$2 (\sec^{1} (\sin (x)) \sec^{1} (\sin (x))) \tan (\sin (x)) \cos (x)$

Schritt 3.4.21.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 {\sec (\sin (x))}^{1 + 1} \tan (\sin (x)) \cos (x)$

Schritt 3.4.21.4

Addiere $1$ und $1$ .

$2 \sec^{2} (\sin (x)) \tan (\sin (x)) \cos (x)$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 2 \sec^{2} (\sin (x)) \tan (\sin (x)) \cos (x)$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 \sec^{2} (\sin (x)) \tan (\sin (x)) \cos (x)$