Analysis Beispiele

$y = e^{7 - (\frac{5}{x})}$

Schritt 1

Multipliziere $- 1$ mit $\frac{5}{x}$ .

$y = e^{7 - \frac{5}{x}}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{7 - \frac{5}{x}})$

Schritt 3

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 7 - \frac{5}{x}$ .

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Schritt 4.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $7 - \frac{5}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [7 - \frac{5}{x}]$

Schritt 4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [7 - \frac{5}{x}]$

Schritt 4.1.3

Ersetze alle $u$ durch $7 - \frac{5}{x}$ .

$e^{7 - \frac{5}{x}} \frac{d}{d x} [7 - \frac{5}{x}]$

Schritt 4.2

Differenziere.

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Schritt 4.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 - \frac{5}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$ .

$e^{7 - \frac{5}{x}} (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}])$

Schritt 4.2.2

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$e^{7 - \frac{5}{x}} (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}])$

Schritt 4.2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$ .

$e^{7 - \frac{5}{x}} \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Schritt 4.2.4

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{5}{x}$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$e^{7 - \frac{5}{x}} (- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Schritt 4.2.5

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$e^{7 - \frac{5}{x}} (- 5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Schritt 4.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$e^{7 - \frac{5}{x}} (- 5 (- x^{- 2}))$

Schritt 4.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$e^{7 - \frac{5}{x}} (5 x^{- 2})$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{7 - \frac{5}{x}} (5 \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 4.3.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.3.2.1

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$e^{7 - \frac{5}{x}} \frac{5}{x^{2}}$

Schritt 4.3.2.2

Kombiniere $e^{7 - \frac{5}{x}}$ und $\frac{5}{x^{2}}$ .

$\frac{e^{7 - \frac{5}{x}} \cdot 5}{x^{2}}$

Schritt 4.3.2.3

Bringe $5$ auf die linke Seite von $e^{7 - \frac{5}{x}}$ .

$\frac{5 e^{7 - \frac{5}{x}}}{x^{2}}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.3.1

Um $7$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{5 e^{\frac{7 x}{x} - \frac{5}{x}}}{x^{2}}$

Schritt 4.3.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5 e^{\frac{7 x - 5}{x}}}{x^{2}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{5 e^{\frac{7 x - 5}{x}}}{x^{2}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 e^{\frac{7 x - 5}{x}}}{x^{2}}$