Analysis Beispiele

$y = \frac{\ln (4 x)}{9 x}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\ln (4 x)}{9 x})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $\frac{1}{9}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{\ln (4 x)}{9 x}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (4 x)}{x}]$ .

$\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (4 x)}{x}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \ln (4 x)$ und $g (x) = x$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (4 x)] - \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 4 x$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 x]) - \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.3.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 x]) - \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{x (\frac{1}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]) - \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.4

Differenziere.

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Schritt 3.4.1

Kombiniere $\frac{1}{4 x}$ und $x$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\frac{x}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] - \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\frac{x}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] - \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [4 x] - \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.4.3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\frac{1}{4} (4 \frac{d}{d x} [x]) - \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.4.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.4.4.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\frac{4}{4} \frac{d}{d x} [x] - \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\frac{4}{4} \frac{d}{d x} [x] - \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.4.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1 \frac{d}{d x} [x] - \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.4.4.3

Mutltipliziere $\frac{d}{d x} [x]$ mit $1$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\frac{d}{d x} [x] - \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1 - \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.4.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1 - \ln (4 x) \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 3.4.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.4.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1 - \ln (4 x)}{x^{2}}$

Schritt 3.4.7.2

Mutltipliziere $\frac{1}{9}$ mit $\frac{1 - \ln (4 x)}{x^{2}}$ .

$\frac{1 - \ln (4 x)}{9 x^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{1 - \ln (4 x)}{9 x^{2}}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - \ln (4 x)}{9 x^{2}}$