Analysis Beispiele

$y = \sqrt{e^{x} + 20}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{e^{x} + 20}$ als ${(e^{x} + 20)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = {(e^{x} + 20)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(e^{x} + 20)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 3

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = e^{x} + 20$ .

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Schritt 4.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $e^{x} + 20$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [e^{x} + 20]$

Schritt 4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [e^{x} + 20]$

Schritt 4.1.3

Ersetze alle $u$ durch $e^{x} + 20$ .

$\frac{1}{2} {(e^{x} + 20)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [e^{x} + 20]$

Schritt 4.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(e^{x} + 20)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 20]$

Schritt 4.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(e^{x} + 20)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 20]$

Schritt 4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(e^{x} + 20)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 20]$

Schritt 4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(e^{x} + 20)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 20]$

Schritt 4.5.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(e^{x} + 20)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 20]$

Schritt 4.6

Differenziere unter Anwendung der Summenregel.

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Schritt 4.6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(e^{x} + 20)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 20]$

Schritt 4.6.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.6.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(e^{x} + 20)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(e^{x} + 20)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [e^{x} + 20]$

Schritt 4.6.2.2

Bringe ${(e^{x} + 20)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(e^{x} + 20)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 20]$

Schritt 4.6.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} + 20$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [20]$ .

$\frac{1}{2 {(e^{x} + 20)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [20])$

Schritt 4.7

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2 {(e^{x} + 20)}^{\frac{1}{2}}} (e^{x} + \frac{d}{d x} [20])$

Schritt 4.8

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.8.1

Da $20$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $20$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 {(e^{x} + 20)}^{\frac{1}{2}}} (e^{x} + 0)$

Schritt 4.8.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.8.2.1

Addiere $e^{x}$ und $0$ .

$\frac{1}{2 {(e^{x} + 20)}^{\frac{1}{2}}} e^{x}$

Schritt 4.8.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2 {(e^{x} + 20)}^{\frac{1}{2}}}$ und $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{2 {(e^{x} + 20)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{e^{x}}{2 {(e^{x} + 20)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x}}{2 {(e^{x} + 20)}^{\frac{1}{2}}}$