Analysis Beispiele

$y = \frac{x}{\sqrt{x - 1}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x - 1}$ als ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{x}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 3

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x - 1)}^{1}}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x - 1}$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 4.4.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x - 1}$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x - 1}$

Schritt 4.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x - 1$ .

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Schritt 4.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 1])}{x - 1}$

Schritt 4.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])}{x - 1}$

Schritt 4.5.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])}{x - 1}$

Schritt 4.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1])}{x - 1}$

Schritt 4.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1])}{x - 1}$

Schritt 4.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1])}{x - 1}$

Schritt 4.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1])}{x - 1}$

Schritt 4.9.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1])}{x - 1}$

Schritt 4.10

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.10.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1])}{x - 1}$

Schritt 4.10.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 1])}{x - 1}$

Schritt 4.10.3

Bringe ${(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 1])}{x - 1}$

Schritt 4.10.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 1]}{x - 1}$

Schritt 4.11

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{x - 1}$

Schritt 4.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{x - 1}$

Schritt 4.13

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)}{x - 1}$

Schritt 4.14

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.14.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}{x - 1}$

Schritt 4.14.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1}$

Schritt 4.15

Um ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1}$

Schritt 4.16

Kombiniere ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1}$

Schritt 4.17

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1}$

Schritt 4.18

Multipliziere ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.18.1

Bewege ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1}$

Schritt 4.18.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1}$

Schritt 4.18.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{{(x - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1}$

Schritt 4.18.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{{(x - 1)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1}$

Schritt 4.18.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{\frac{{(x - 1)}^{1} \cdot 2 - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1}$

Schritt 4.19

Vereinfache ${(x - 1)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{\frac{(x - 1) \cdot 2 - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1}$

Schritt 4.20

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x - 1$ .

$\frac{\frac{2 \cdot (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1}$

Schritt 4.21

Schreibe $\frac{\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1}$ als ein Produkt um.

$\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x - 1}$

Schritt 4.22

Mutltipliziere $\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{x - 1}$ .

$\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x - 1)}$

Schritt 4.23

Potenziere $x - 1$ mit $1$ .

$\frac{2 (x - 1) - x}{2 ({(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 4.24

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Schritt 4.25

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Schritt 4.26

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Schritt 4.27

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.28

Vereinfache.

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Schritt 4.28.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x + 2 \cdot - 1 - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.28.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.28.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x - 2 - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.28.2.2

Subtrahiere $x$ von $2 x$ .

$\frac{x - 2}{2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{x - 2}{2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - 2}{2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$