Analysis Beispiele

$y = x^{2} \log_{2} (5 - 4 x)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2} \log_{2} (5 - 4 x))$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \log_{2} (5 - 4 x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\log_{2} (5 - 4 x)] + \log_{2} (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \log_{2} (x)$ und $g (x) = 5 - 4 x$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $5 - 4 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\log_{2} (u)] \frac{d}{d x} [5 - 4 x]) + \log_{2} (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\log_{2} (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u \ln (2)}$ .

$x^{2} (\frac{1}{u \ln (2)} \frac{d}{d x} [5 - 4 x]) + \log_{2} (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $5 - 4 x$ .

$x^{2} (\frac{1}{(5 - 4 x) \ln (2)} \frac{d}{d x} [5 - 4 x]) + \log_{2} (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Kombiniere $\frac{1}{(5 - 4 x) \ln (2)}$ und $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{(5 - 4 x) \ln (2)} \frac{d}{d x} [5 - 4 x] + \log_{2} (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 - 4 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{x^{2}}{(5 - 4 x) \ln (2)} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 4 x]) + \log_{2} (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.3.3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{2}}{(5 - 4 x) \ln (2)} (0 + \frac{d}{d x} [- 4 x]) + \log_{2} (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.3.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{x^{2}}{(5 - 4 x) \ln (2)} \frac{d}{d x} [- 4 x] + \log_{2} (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.3.5

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2}}{(5 - 4 x) \ln (2)} (- 4 \frac{d}{d x} [x]) + \log_{2} (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.3.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.3.6.1

Kombiniere $- 4$ und $\frac{x^{2}}{(5 - 4 x) \ln (2)}$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{(5 - 4 x) \ln (2)} \frac{d}{d x} [x] + \log_{2} (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.3.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4 x^{2}}{(5 - 4 x) \ln (2)} \frac{d}{d x} [x] + \log_{2} (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{4 x^{2}}{(5 - 4 x) \ln (2)} \cdot 1 + \log_{2} (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{4 x^{2}}{(5 - 4 x) \ln (2)} + \log_{2} (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{4 x^{2}}{(5 - 4 x) \ln (2)} + \log_{2} (5 - 4 x) (2 x)$

Schritt 3.3.10

Bewege $\log_{2} (- 4 x + 5)$ .

$- \frac{4 x^{2}}{(- 4 x + 5) \ln (2)} + 2 x \log_{2} (- 4 x + 5)$

Schritt 3.4

Um $2 x \log_{2} (- 4 x + 5)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{(- 4 x + 5) \ln (2)}{(- 4 x + 5) \ln (2)}$ .

$- \frac{4 x^{2}}{(- 4 x + 5) \ln (2)} + 2 x \log_{2} (- 4 x + 5) \cdot \frac{(- 4 x + 5) \ln (2)}{(- 4 x + 5) \ln (2)}$

Schritt 3.5

Kombiniere $2 x \log_{2} (- 4 x + 5)$ und $\frac{(- 4 x + 5) \ln (2)}{(- 4 x + 5) \ln (2)}$ .

$- \frac{4 x^{2}}{(- 4 x + 5) \ln (2)} + \frac{2 x \log_{2} (- 4 x + 5) ((- 4 x + 5) \ln (2))}{(- 4 x + 5) \ln (2)}$

Schritt 3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 4 x^{2} + 2 x \log_{2} (- 4 x + 5) ((- 4 x + 5) \ln (2))}{(- 4 x + 5) \ln (2)}$

Schritt 3.7

Vereinfache.

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Schritt 3.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 4 x^{2} + 2 x \log_{2} (- 4 x + 5) (- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2))}{(- 4 x + 5) \ln (2)}$

Schritt 3.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 4 x^{2} + 2 x \log_{2} (- 4 x + 5) (- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2))}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

Schritt 3.7.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.7.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.7.3.1.1

Vereinfache $2 \log_{2} (- 4 x + 5)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{- 4 x^{2} + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) (- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2))}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

Schritt 3.7.3.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.7.3.1.2.1

Vereinfache $- 4 \ln (2)$ , indem du $4$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{- 4 x^{2} + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) (x (- \ln (2^{4})) + 5 \ln (2))}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

Schritt 3.7.3.1.2.2

Potenziere $2$ mit $4$ .

$\frac{- 4 x^{2} + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) (x (- \ln (16)) + 5 \ln (2))}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

Schritt 3.7.3.1.2.3

Vereinfache $5 \ln (2)$ , indem du $5$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{- 4 x^{2} + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) (x (- \ln (16)) + \ln (2^{5}))}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

Schritt 3.7.3.1.2.4

Potenziere $2$ mit $5$ .

$\frac{- 4 x^{2} + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) (x (- \ln (16)) + \ln (32))}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

Schritt 3.7.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 4 x^{2} + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) (x (- \ln (16))) + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32)}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

Schritt 3.7.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- 4 x^{2} - \ln (16) x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) x + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32)}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

Schritt 3.7.3.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.7.3.1.5.1

Bewege $x$ .

$\frac{- 4 x^{2} - \ln (16) (x \cdot x) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32)}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

Schritt 3.7.3.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{- 4 x^{2} - \ln (16) x^{2} \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32)}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

Schritt 3.7.3.2

Stelle die Faktoren in $- 4 x^{2} - \ln (16) x^{2} \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32)$ um.

$\frac{- 4 x^{2} - x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32)}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

Schritt 3.7.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 x^{2}$ heraus.

$\frac{- (4 x^{2}) - x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32)}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

Schritt 3.7.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2})$ heraus.

$\frac{- (4 x^{2}) - (x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2})) + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32)}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

Schritt 3.7.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 x^{2}) - (x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}))$ heraus.

$\frac{- (4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2})) + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32)}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

Schritt 3.7.7

Faktorisiere $- 1$ aus $x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32)$ heraus.

$\frac{- (4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2})) - (- x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32))}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

Schritt 3.7.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2})) - (- x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32))$ heraus.

$\frac{- (4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) - x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32))}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

Schritt 3.7.9

Schreibe $- (4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) - x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32))$ als $- 1 (4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) - x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32))$ um.

$\frac{- 1 (4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) - x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32))}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

Schritt 3.7.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 x \ln (2)$ heraus.

$\frac{- 1 (4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) - x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32))}{- (4 x \ln (2)) + 5 \ln (2)}$

Schritt 3.7.11

Faktorisiere $- 1$ aus $5 \ln (2)$ heraus.

$\frac{- 1 (4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) - x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32))}{- (4 x \ln (2)) - (- 5 \ln (2))}$

Schritt 3.7.12

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 x \ln (2)) - (- 5 \ln (2))$ heraus.

$\frac{- 1 (4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) - x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32))}{- (4 x \ln (2) - 5 \ln (2))}$

Schritt 3.7.13

Schreibe $- (4 x \ln (2) - 5 \ln (2))$ als $- 1 (4 x \ln (2) - 5 \ln (2))$ um.

$\frac{- 1 (4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) - x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32))}{- 1 (4 x \ln (2) - 5 \ln (2))}$

Schritt 3.7.14

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 (4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) - x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32))}{- 1 (4 x \ln (2) - 5 \ln (2))}$

Schritt 3.7.15

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) - x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32)}{4 x \ln (2) - 5 \ln (2)}$

Schritt 3.7.16

Stelle die Terme um.

$\frac{4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) - x \ln (32) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2})}{4 x \ln (2) - 5 \ln (2)}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) - x \ln (32) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2})}{4 x \ln (2) - 5 \ln (2)}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) - x \ln (32) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2})}{4 x \ln (2) - 5 \ln (2)}$